選択公理

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選択公理と同値な命題とその証明

集合

• 選択公理について　PDF版
  選択公理の定義、他
• 集合に関する命題　PDF版
  選択公理 ⇔ 全射の右逆写像の存在、他
• 整列可能定理とZornの補題　PDF版
  選択公理 ⇔ 整列可能定理 ⇔ Zornの補題
• 整列可能定理について　PDF版
  整列可能定理 ⇔ 全順序は整列可能 ⇔ 順序数の冪集合は整列可能、他
• Zornの補題・極大原理　PDF版
  Zornの補題 ⇔ Tukeyの補題、他
• Constructive Order Theory　PDF版
  選択公理 ⇔ 上限はconstructive supremum、他
• the Axiom of Multiple Choice　PDF版
  選択公理 ⇔ the Axiom of Multiple Choice、他
• 従属選択公理について　PDF版
  選択公理 ⇔ ∀αDC(α)
• ∪∩の分配法則　PDF版
  選択公理 ⇔ 任意個の集合についての∪∩の分配法則
• 順序集合の不動点定理　PDF版
  選択公理 ⇔ 帰納的順序集合 X と写像 f: X→X が∀x∈X(x≦f(x)) を満たすならば f は不動点を持つ、他

濃度

• Bernsteinの定理　PDF版
  双対Bernsteinの定理に条件を加えると選択公理と同値になる、という話
• 濃度の性質　PDF版
  選択公理 ⇔ |X|^2=|X|、他
• 濃度の比較可能性　PDF版
  選択公理 ⇔ 濃度の比較可能性、他
• königの定理　PDF版
  選択公理 ⇔ königの定理、他
• 後続基数の定義　PDF版
  選択公理 ⇔ 2-successorの存在
• 有限集合・無限集合の定義　PDF版
  選択公理 ⇔ 2|X|=|X|ならば|X|^2=|X|、他

代数学

• 線型空間の基底の存在　PDF版
  選択公理 ⇔ 任意の線型空間に基底が存在する，他
• 線型空間(その他)　PDF版
  選択公理 ⇔ Vector Space Multiple Choice，他
• 集合に群構造が入る　PDF版
  選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに群構造を入れることができる
• 剰余群の完全代表系の存在　PDF版
  選択公理 ⇔ アーベル群の剰余群の完全代表系の存在
• 任意の群のp-Sylow部分群の存在　PDF版
  選択公理 ⇔ 任意の群にp-Sylow部分群が存在する
• Nielsen-Schreierの定理　PDF版
  Nielsen-Schreierの定理に条件を加えると選択公理と同値になる、という話
• 入射的・射影的　PDF版
  選択公理 ⇔ 可除アーベル群は入射的 ⇔ 自由アーベル群は射影的、他
• 群や環の直積　PDF版
  選択公理 ⇔ 非自明群の族の直積はどの成分も単位元でない元を含む、他
• 環の極大イデアルの存在　PDF版
  選択公理 ⇔ 環は極大イデアルを持つ ⇔ 一意分解整域は極大イデアルを持つ
• Krullの定理⇒選択公理 の別証明　PDF版
  環の極大イデアルと有限性を持つ集合の極大元の間に対応をつけることにより証明
• 環のSubdirect Decomposition　PDF版
  選択公理 ⇔ 任意の環は部分直既約な環の部分直積である、他
• 束　PDF版
  選択公理 ⇔ 完備束は極大フィルターを持つ、他
• グラフの彩色　PDF版
  選択公理 ⇔ 任意のグラフの彩色数が存在する ⇔ 任意のグラフは既約な彩色を持つ、他

位相

• Tychonoffの定理　PDF版
  選択公理 ⇔ Tychonoffの定理、他
• Tychonoffの定理の別証明　PDF版
  Tychonoffの定理の別証明から分かることについて
• Alexandroff-Urysohnコンパクト　PDF版
  選択公理 ⇔ コンパクトならばAlexandroff-Urysohn-コンパクト、他
• 閉集合と直積　PDF版
  選択公理 ⇔ 「直積の閉包」=「閉包の直積」、他
• T_0部分空間　PDF版
  選択公理 ⇔ 任意の位相空間は極大なT_0部分空間を持つ、他
• Loeb空間　PDF版
  選択公理 ⇔ コンパクトHausdorff空間の任意の点は，整列可能な基本近傍系を持つ、他
• 位相の拡大　PDF版
  選択公理 ⇔ Xの任意のコンパクトR₁位相Rに対して， XのコンパクトTychonoff位相T⊃Rが存在する、他
• 位相空間の直積・直和　PDF版
  選択公理 ⇔ X_λ ≅ Y_λ(同相) ならば ΠX_λ ≅ ΠY_λ(同相)、他
• 位相空間(その他)　PDF版
  選択公理 ⇔ スーパーコンパクトの直積はスーパーコンパクト ⇔ Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理
• 位相空間のコホモロジー　PDF版
  選択公理 ⇔ 任意の集合Xと任意の群Gに対して Giraudのコホモロジー H^1(X, G)=1、他
• 第一可算公理　PDF版
  第一可算公理と選択公理の関係について

解析学

• 関数解析学の定理　PDF版
  選択公理 ⇔ Hahn-Banachの定理+α ⇔ Banach-Alaoglu + Krein-Milman、他

数学基礎論

• Löwenheim-Skolemの定理　PDF版
  選択公理 ⇔ Löwenheim-Skolemの定理
• Łośの定理とBPI　PDF版
  選択公理 ⇔ Łośの定理+BPI
• Lindenbaumの定理　PDF版
  選択公理 ⇔ x∉Cn(X)ならばx-飽和な理論Y⊃Xが存在する．

圏論

• 圏論　PDF版
  選択公理 ⇔ 随伴関手定理 ⇔ 圏の骨格の存在、他

選択公理botで現在使っているリストでよければ一覧もあります。

選択公理に関する話題

こちらは選択公理と同値じゃない命題になります。

• 制限された選択公理　PDF版
  n元集合からなる族についての選択公理など
• Lebesgue非可測集合の存在　PDF版
• 代数閉包の存在と一意性　PDF版
• Boolean Prime Ideal Theorem
  BPIについて(紹介のみ)
• 実数関数の連続性　PDF版
• Noether環の条件について　PDF版
  昇鎖条件・極大条件の同値性について
• \aleph_1≦*2^{\aleph_0}　PDF版
  実数体から濃度\aleph_1の集合への全射は選択公理無しで構成できる．
• Banach-Tarskiの定理　PDF版
• 一般連続体仮説　PDF版
  一般連続体仮説から選択公理が従う．
• Urysohnの補題　PDF版
  Urysohnの補題について
• Hahn-Banachの定理　PDF版
  Hahn-Banachの定理が無いとX^*=0となりえる
• 本当は怖い濃度の話　PDF版
  濃度の定義や計算について
• Partition Principle　PDF版
  Partition Principleについて
• 対角線論法と選択公理は関係ない

証明できないことの証明

一般論

• permutationモデル　PDF版
• symmetricモデル　PDF版

具体例

• 可算和定理　PDF版
• 線型空間の次元の一意性　PDF版
• Urysohnの補題　PDF版
• 基数のなす順序集合　PDF版

???

せんたくこうり　PDF版

第三回　関西すうがく徒のつどい「数学の諸定理と選択公理の関係」　PDF版

第四回　関西すうがく徒のつどい「代数学における選択公理」　PDF版

第七回　関西すうがく徒のつどい「現役アマチュアすうがく徒が教える! 数学をするのは楽しいけど、選択公理について知るともっと楽しいかもよ!?」

第八回　関西すうがく徒のつどい「公理追加型数学」

動画解説

• 選択公理動画リスト
• 選択公理を認めない霊夢と魔理沙

参考文献

• 田中 尚夫『選択公理と数学』
• 難波 完爾『集合論』
• Kenneth Kunen『集合論―独立性証明への案内』
• Horst Herrlich『Axiom of Choice』
• Herman Rubin, Jean E. Rubin『Equivalents of the Axiom of Choice II』
• Paul Howard, Jean E. Rubin『Consequences of the Axiom of Choice』
• Thomas J. Jech『The Axiom of Choice』
• Azriel Levy『Basic Set Theory』
• Axiom of choice - Wikipedia