線型空間の基底の存在

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定理1 選択公理⇔任意の線型空間に基底が存在する．

証明(⇒) Vを任意な線型空間とする．A := { X⊂V | Xは一次独立 }とする．一次独立の定義から，A は明らかに有限性を持つ．

Aが有限性を持つとは「X∈A⇔任意の有限部分集合Y⊂ Xに対しY∈A」が成立すること．

よってTukeyの補題により A は極大元Bを持つ．

Tukeyの補題とは「有限性を持つ集合は(⊂についての)極大元を持つ」という選択公理と同値な命題のこと．Zornの補題・極大原理を参照．

B が V を生成しないと仮定する．すると B の元の一次結合で表せないような元 v∈V が存在するが，この時 B ⊊ B∪{v}∈A となり，B の極大性に矛盾する．よって B は V を生成する，即ち V の基底である．

(←) 選択公理と同値なAMCを示す．

AMC (= the Axiom of Multiple Choice)とは次の命題のこと．

非空集合の族 ${X_λ}_{λ∈Λ}$ に対し，有限集合の族 ${F_λ}_{λ∈Λ}$ で
任意のλ∈Λに対してとなるものが存在する．

同値性の証明はthe Axiom of Multiple Choiceを参照．

${X_λ}_{λ∈Λ}$ を空でない集合の族とする．(λ≠μ)としてよい．kを体とし， $X:=∪_{λ∈Λ}X_λ$ を不定元の集合とみなして体 k(X) を考える．

単項式 $a=αx_1^{e_1}x_2^{e_2}…x_n^{e_n}∈k(X)$ に対し， $I_λ(a):={i∈N|x_i∈X_λ}$ と置き， $λ-deg(a):=Σ_{i∈I_λ(a)}e_i$ をλ次数と呼ぶことにする．各項のλ次数が m の多項式をm次のλ斉次多項式と呼ぶことにし，その次数もλ-deg で表すことにする．f∈k(X) が

f = g/h　(g, hはλ斉次多項式，λ-deg(g) = λ-deg(h)+d )

と表せるとき，f をd次のλ斉次式と呼ぶことにする．

K := { f∈k(X) | 任意のλ∈Λに対し f は0次のλ斉次式 } は k(X) の部分体．よって k(X) はK上の線型空間とみなせる．V := <X> を X でK上生成される k(X) の部分空間とする．仮定より V はK上の基底をもつ．それを B と書く．

さて，λ∈Λとする．の任意の元 x は

$x=Σ_{b∈B(x)}α_b(x)b$
(B(x)⊂Bは有限集合， $\α_b(x)∈K^×$ )

と一意に表される．他の元も同様に $y=Σ_{b∈B(y)}α_b(y)b$ と書くと

$y=(y/x)x=Σ_{b∈B(x)}(yα_b(y)/x)b$

となる．表現の一意性から

B(x)=B(y), α_b(x)/x=α_b(y)/y

である．即ち，B(x)と α_b(x)/x はxによらずにλから定まる．そこで $B_λ :=B(x), β_{b, λ}:=α_b(x)/x$ と書く．だから $β_{b, λ}$ は-1次のλ斉次式である．よって， $β_{b, λ}$ を既約分数で表す事にすると，分母には必ずの元が現れる．故に

$F_λ:={x∈X_λ |∃b∈B_λ, xはβ_{b, λ}の分母に現れる}$

と置けば各は空でない有限部分集合である．よって the Axiom of Multiple Choice が成立する．

AMC⇒選択公理は基礎の公理を使っているから，この ⇐ の証明も基礎の公理を使っていることになる．この証明が基礎の公理無しでできるかどうかは未解決問題である．一方，次の定理の同値は基礎の公理なしで成り立つ．

定理選択公理 ⇔ 任意の線型空間は整列可能な基底を持つ．

証明 ( ⇒ )明らか．

( ⇐ )整列可能定理を示す． X を任意の集合として， X で生成される F₂ 上の線型空間 F₂^(X) を考える．仮定より， F₂^(X) は整列可能な基底 B⊂F₂^(X) を持つ．即ち F₂^(X) ≅ F₂^(B) である． B が整列可能だから，|B| = |P_fin(B)| = |F₂^(B)| となり， F₂^(B) も整列可能であることが分かる．故に X⊂F₂^(B) も整列可能である．

定理2次の命題は(ZF上)同値．

選択公理
線型空間の生成系は基底を含む．
Q-線型空間の生成系は基底を含む．
F₂-線型空間の生成系は基底を含む．

証明(1 ⇒ 2) 定理1と同様．

(2 ⇒ 3) 明らか．

(3 ⇒ 1) AMCを示す．

AMC⇒選択公理は基礎の公理を使っているから，この 3⇒1 の証明も基礎の公理を使っていることになる．実は，3⇒1 の証明には基礎の公理は必要ない．何故ならば，仮定3から「有限集合の族についての選択公理」が導かれるからである．それをここで示しておく．

「有限集合の族についての選択公理」を示すには次の命題を示せばよい．

有限集合の族 ${X_λ}λ∈Λ$ が「任意のλ∈Λ に対し|X_λ|≧2」を満たすとき，
ある族{F_λ}_λ∈Λが存在して任意のλ∈Λ に対して∅≠ F_λ⊊ X_λとなる．

the Axiom of Multiple Choiceの定理2と同様である．

有限集合の族 ${X_λ}λ∈Λ$ が「任意のλ∈Λに対し|X_λ|≧2」を満たすとする．これらは互いに素であるとしてよい．λ∈Λとする．

V_λ := { Σ_{x∈X_λ} α_xx | α_x∈Q, Σ_{x∈X_λ} α_x=0 }

とする．V_λはQ上の線型空間で，明らかに dim_Q V_λ = |X_λ|-1 である．

有限次元線型空間では，選択公理無しに次元が一意に定まることに注意する．

V := ⊕_λ∈Λ V_λと置く． G_λ := { x-y∈V_λ | x, y∈X_λ, x≠y }, G := ∪_λ∈Λ G_λ とすれば G は V を生成する．故に仮定から V の基底 B⊂G が存在する． B_λ := B∩G_λと置く． G_λ の定義から，B_λ は |X_λ|-1 個の x-y からなる．そこには X_λ の元が 2(|X_λ|-1) 回現れる．

(i) |X_λ|≧3 のとき．
このときは |X_λ| が 2(|X_λ|-1) を割らないから，全ての x∈X_λが同じ回数表れるということは無い．そこで m_λ := min{ xが現れた回数 | x∈X_λ } として F_λ := { x∈X_λ | xが現れた回数=m_λ } と置けばよい．

(ii) |X_λ|=2 のとき．
このときは |B_λ|=1 である．B_λ={b} とする．今Qは標数0だから1≠-1．そこで F_λ := { x∈X_λ | bに現れるxの係数=1 } と置けばよい．

AMCを示す為に， ${X_λ}_{λ∈Λ}$ を非空集合の族とする．各X_λは3つ以上元を持つとしても一般性を失わない．各λ∈Λに対しQ-線型空間V_λを

V_λ := { f: X_λ→Q | ある有限集合 F⊂X_λがあって f は X_λ＼F 上定数関数 }

と定義する．G_λ := { f∈V_λ | fは定数関数ではないが一点を除くと定数関数 } と置けばG_λはV_λを生成する．

V := ⊕_λ∈Λ V_λとする．標準的な埋め込み i_λ: V_λ→V が存在する．G := ∪_λ∈Λ i_λ(G_λ)と置けば G は V を生成する．そこで仮定より V の基底 B⊂G が存在する．B_λ := { x∈V_λ | i_λ(x)∈G } とすれば B_λ⊂G_λがV_λの基底である．

定数関数 1∈V_λを基底 B_λの元 b_i の一次結合で表す: 1=α₁b₁+…+α_nb_n．b_i∈G_λで，X_λは3つ以上の元を持つから，b_i: X_λ→Q が X_λ＼{x_i} 上定数関数になるような x_i が唯一つ存在する．そこで F_λ := { x₁, …, x_n } とすればよい．

(2 ⇒ 4) 明らか．

(4 ⇒ 1) ${X_λ}λ∈Λ$ を互いに素な非空集合の族とする．各X_λは無限集合としても一般性を失わない．λ∈Λとする． V_λ := { f: X_λ→F₂ | 有限個のx∈X_λを除いてfは定数関数 }⊂F₂^X_λ と置く． V_λはF₂-線型空間F₂^X_λの部分空間である．x∈X_λに対して f_x, g_x∈V_λを

f_x(x) := 1,　y≠xのとき f_x(y) := 0
g_x(x) := 0,　y≠xのとき g_x(y) := 1

で定める．V := ⊕_λ∈Λ V_λ とする． G := ∪_λ∈Λ∪_{x∈X_λ}{ f_x, g_x } は V の生成系である．故に仮定4から V の基底 B⊂G が存在する．

λ∈Λを取る．f_{x_λ}∈B かつ g_{x_λ}∈B となるような x_λ∈X_λ が一意に存在する．

1_λ∈V_λを任意の x∈X_λ に対して 1_λ(x) := 1 で定める． B が V の基底だから e⁽⁰⁾, …, e^(n_λ)∈B が一意に存在して 1_λ = e⁽⁰⁾+…+e^(n_λ)と書ける． e⁽ⁱ⁾∈V のV_λ成分を e⁽ⁱ⁾_λ と書く．

I := { 0≦i≦n_λ | e⁽ⁱ⁾_λは無限個の x∈X_λ に対して1を取る }

と置く．

| I | が偶数だとすると Σ_i∈I e⁽ⁱ⁾_λは有限個の x∈X_λ を除いて 0 を取る．故に 1_λ∈V_λ は有限個の x∈X_λ を除いて 0 を取る．今 1_λ は x∈X_λ に対して 1 を取るから，X_λは有限集合で無ければならず，矛盾する．従って | I | は奇数である．

このときΣ_i∈Ie⁽ⁱ⁾_λは有限個のx∈X_λを除いて1を取る． Y_λ := { x∈X_λ | Σ_i∈Ie⁽ⁱ⁾_λ(x)=0 } と置く． x_λ∈Y_λを一つ取る．今，| I | は奇数だったから，ある j∈I が存在して e^(j)_λ(x_λ)=0 となる． j=0 としてよい．このとき，G の定義から明らかに e⁽⁰⁾_λ=g_{x_λ}である．故に n=1 かつ e⁽¹⁾_λ = f_{x_λ} となることが分かる．即ち f_{x_λ}∈B かつg_{x_λ}∈B である．このとき 1_λ = f_{x_λ}+g_{x_λ} だから，表現の一意性により，このような x_λ は唯一つしか存在しない．

このx_λを使って f: Λ→をf(λ) := x_λ と定めれば，f が選択関数である．

2⇒1 の証明については，簡明な証明が知られています．かがみさんの日記の線型空間の基底の存在と選択公理 (簡単な場合)を参照．

Bases, spanning sets, and the axiom of choiceによれば「ある体Fが存在して，F-線型空間の生成系は基底を含む．」が選択公理と同値になるようです．

定義 V を集合， $\Subset$ を P(V) 上の二項関係とする．小文字 x, y は V の元を動き，大文字 X, Y, Z は V の部分集合を動くとする．次の条件を満たすとき，(V, $\Subset$ )を一般化線型空間と呼ぶことにする．

Y⊂X ならば Y $\Subset$ X．
「任意のλ∈Λに対してX_λ $\Subset$ Y」ならば $\Subset$ Y．
X $\Subset$ Y かつ Y $\Subset$ Z ならば X $\Subset$ Z．
{x} $\Subset$ X∪{y} かつ {x} $\not\Subset$ X ならば {y} $\Subset$ X∪{x}．
{x} $\Subset$ X ならば，ある有限部分集合 Y⊂X が存在して {x} $\Subset$ Y．

定義(V, $\Subset$ )を一般化線型空間とする．

X⊂Vが独立 ⇔ {x} $\Subset$ X＼{x} となる x∈X は存在しない．
B⊂Vが基底 ⇔ B が独立でありかつ V $\Subset$ B．

定理選択公理 ⇔ 任意の一般化線型空間に基底が存在する．

証明(⇒) Vを一般化線型空間とする．A := { X⊂V | Xは独立 } は有限性を持つ．

X が独立であるとする．有限部分集合 Y⊂X が独立でないと仮定する．ある y∈Y が存在して{y} $\Subset$ Y＼{y}となる．Y＼{y}⊂X＼{y} だから一般化線型空間の定義の1により Y＼{y} $\Subset$ X＼{y} である．故に定義の3から {y} $\Subset$ X＼{y}となり，X が独立であることに矛盾する．故に任意の有限部分集合 Y⊂X は独立である．

逆に，任意の有限部分集合 Y⊂X が独立であるとする．X が独立でないと仮定する．ある x∈X が存在して {x} $\Subset$ X＼{x} となる．このとき定義の5から，ある有限部分集合 Z⊂X＼{x} が存在して{x} $\Subset$ Z である．このとき Y := Z∪{x} と置けば{x} $\Subset$ Y＼{x} となり，有限部分集合 Y⊂X が独立であることに矛盾する．故に X は独立である．

従ってTukeyの補題により A は⊂に関する極大元 B∈A を持つ．B が基底でないとする．B は独立だから，V $\not\Subset$ Bである．V = ∪_x∈V{x} だから，一般化線型空間の定義の2によりある x∈V が存在して {x} $\not\Subset$ B となる．C := B∪{x} と置けば C は独立である．

C が独立でないと仮定するとある y∈C が存在して {y} $\Subset$ C＼{y} である．{x} $\not\Subset$ B だから y≠x，よって y∈B である．B は独立だから {y} $\not\Subset$ B＼{y} となる．{y} $\Subset$ C＼{y} = (B＼{y})∪{x} だから定義の4により {x} $\Subset$ (B＼{y})∪{y} = B となり矛盾する．

故にBの極大性に矛盾する．従ってBは基底である．

(←) ${X_λ}λ∈Λ$ を互いに素な非空集合の族とする． V:=として $\Subset$ を

X $\Subset$ Y ⇔ 任意のλ∈Λに対して「X∩X_λ≠ ∅ ならばY∩X_λ≠ ∅ 」

と定める．(V, $\Subset$ )は一般化線型空間である．

一般化線型空間の定義1から5を確かめる． 1，2，3は明らかである．

4について．{x} $\Subset$ X∪{y} かつ {x} $\not\Subset$ X とする．x∈V だから，あるλ∈Λが一意に存在して x∈X_λ である．即ち {x}∩X_λ≠ ∅ である．任意のμ≠λに対して {x}∩X_μ= ∅ だから，{x} $\not\Subset$ X となるためには X∩X_λ= ∅ でなければならない．一方，{x} $\Subset$ X∪{y} の定義と {x}∩ X_λ≠ ∅ から(X∪{y})∩X_λ≠ ∅ である．故に y∈X_λ となる．従って {y} $\Subset$ X∪{x} が分かる．

5について．{x} $\Subset$ X とする．x∈V だから，あるλ∈Λが一意に存在して x∈ X_λ である．y∈X∩X_λ を一つ取る．このとき Y := {y} とすれば明らかに {x} $\Subset$ Y となる．

よって仮定により V の基底 B が存在する．V $\Subset$ B だから，任意のλ∈Λに対して B∩X_λ≠ ∅ である．x, y∈B∩X_λ とする．基底 B は独立だから {x} $\not\Subset$ B＼{x} である．{x}∩X_λ≠ ∅，任意のμ≠λに対して {x}∩X_μ= ∅ だから，{x} $\not\Subset$ B＼{x} となるためには (B＼{x})∩X_λ= ∅ でなければならない．y∈B∩X_λ だったから x=y である．従って，|B∩ X_λ|=1 が分かった．故に B が ${X_λ}λ∈Λ$ の選択集合である．

参考文献

A. Blass, Existence of bases implies the Axiom of Choice, Comtemporary Mathematics 31 (1984), 31-33, http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/set.html
M. Bleicher, Some theorems on Vector Spaces and the Axiom of Choice, Fund. Math. 54(1964), 95-107
Horst Herrlich『Axiom of Choice』

kazz | 2012年3月21日 16:13

壱大整域さん、初めまして。

選択公理関連の資料を、大変興味深く拝見しております。
更新されるつど、pdf をダウンロードしております。

僕の専門はホモトピー論でしたが、数学基礎論も、
独学で勉強していたことがあります。
時機を見て、貴殿のサイトから勉強しようと思っております。

ところで、このページの基底の存在についての疑問ですが、定理1の証明で、β_{b, λ} を既約分数で表すとありますが、既約分数で表す表し方は、一意に定まるのでしょうか？不定元が一つだけの多項式であれば良いのですが、不定元がいくつもある多項式の場合、有理式を既約分数 P/Q で表すときの P と Q が、一意に決まるかどうか、疑問です。

もっとも、係数体kを有理数体Qとして、

β_{b, λ} = P/Q

とあらわしたとき、P または Q に現れる不定元の全体
H(P, Q) の基数が最小になるようにすれば、H(P, Q)
はそのような P と Q の選び方によらず一意に定まり、
F_λ として、b が B_λを動くときの、そのような
H(P, Q)∩X_λ の合併と定義すれば、
僕が感じたギャップは切り抜けられますが。

以上の点について、ご回答をいただけないでしょうか？

kazz | 2012年3月21日 16:17

すみません、有理数体の Q と多項式の Q がダブっていました。有理数体の Q は、Q' とでも置き換えてください。

kazz | 2012年3月21日 16:43

一応、補足しておきます。

僕の最初のコメントで、「有理数体Q」とあるところだけ、
Q は有理数全体です。そのほかの部分の記号 Q は、多項式です。

管理人 | 2012年3月21日 17:32

指摘ありがとうございます。

既約分数については、一意に定まるものと思っていました。
(勿論、厳密には(x-1)/(x-2)=(1-x)/(2-x)のように一意ではありませんが、現在の議論には関係ありません。)
本当に一意か? と聞かれると自信がないのですが、とりあえずwikipedia( http://en.wikipedia.org/wiki/Irreducible_fraction )には
"The irreducible fraction for a given element is unique up to multiplication of denominator and numerator by the same invertible element."
との記述があります。

kazz | 2012年3月21日 17:51

管理人様

ご回答ありがとうございます。
リンク先の記事と、更にそのリンク先を読んだところ、
確かに、既約分数表示は一意のようです。

ここで僕が問題にしているのは、定数倍を含んで一意になるかと言う意味ではないです。

体 k を係数とする多項式環が一意分解整域になるという性質が、エッセンシャルです。一意分解性域の分数体に於いては、既約分数表示が、「可逆元による定数倍を除いて」一意に決まるようですね。

以下のリンクも参考にしました：

http://en.wikipedia.org/wiki/Unique_factorization_domain#Examples

次の記述があります。

If R is a UFD, then so is R[X], the ring of polynomials with coefficients in R. Unless R is a field, R[X] is not a principal ideal domain. By iteration, a polynomial ring in any number of variables over any UFD (and in particular over a field) is a UFD.

ここで、UFD とは、一意分解整域のことです。
ありがとうございました。

線型空間の基底の存在

参考文献

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