次の命題をUrysohnの補題という．

命題 X を T₄ 空間， F, G⊂X を互いに素な閉集合とするとき，連続関数 f: X→R で x∈F に対して f(x)=0，x∈G に対して f(x)=1 となるものが存在する．

命題 X を T₄ 空間， F⊂X を閉集合， U⊂X を開集合， F⊂U とする．このときある開集合 V が存在して F⊂V, cl(V)⊂U となる．

証明 U^c⊂X は閉集合で F∩U^c= ∅ である． X が T₄ だから，ある開集合 V, W⊂X が存在して F⊂V, U^c⊂W, V∩W= ∅ となる． V∩W= ∅ だから V⊂W^c で， W^c は閉集合だから cl(V)⊂W^c である． U^c⊂W だから W^c⊂U なので cl(V)⊂U となる．

R := { m/2ⁿ | n≧0, 0≦m≦2ⁿ } とする．

補題 (X, O) を位相空間， F⊂X を閉集合とする．写像 U: R→O が「 r < s ならcl(U(r))⊂U(s) 」と F⊂U(0) を満たすとする．このとき連続関数 f: X→R で x∈F に対して f(x)=0，x∈U(1)^c に対して f(x)=1 となるものが存在する．

証明 a∈R に対して ∪_a<r∈RU(r)^c=∪_a<r∈Rcl(U(r))^c である．

f: X→R を f(x) := inf{ r∈R | x∈U(r) } で定める．明らかに x∈F に対して f(x)=0 ， x∈U(1)^c に対して f(x)=1 である．よって f が連続であることを示せばよい． (a, b)⊂R を開区間とする．このとき

f^-1(a, b)
= { x∈X | a < f(x) } ∩ { x∈X | f(x) < b }
= { x∈X | ある r > a に対して x ∉ U(r) }∩{ x∈X | ある r < b に対して x∈U(r) }
=∪_{r > a}U(r)^c∩∪_{r < b}U(r)
=∪_{r > a}cl(U(r))^c∩∪_{r < b}U(r)

も開集合である．故に f は連続である．

定理 選択公理 ⇒ Urysohnの補題

証明 (X, O) を T₄ 空間， F, G⊂X を互いに素な閉集合とする． X の閉集合全体を A とする． S := { <F, U>∈A×O | F⊂U } とすると， <F, U>∈S に対して O_{<F, U>}:= { V∈O | F⊂V, cl(V)⊂U } ≠ ∅ である．故に { O_{<F, U>} } _{<F, U>∈S} の選択関数 g: S→O が存在する．

U(0) := f(F, G^c) ， U(1) := G^c として U(m/2ⁿ) := g(<cl(U((m-1)/2ⁿ)), U((m+1)/2ⁿ)>) と定める．

この U は前補題の条件を満たす．故にUrysohnの補題が成り立つ．

今の証明では選択公理を用いたが，これは次のようにすれば従属選択公理でよいことが分かる．

T := { <U₁, …, U_2ⁿ> | n∈N, U_i∈O, 1≦i≦2ⁿ-1に対して cl(rU_i)⊂U_i+1 }

として T 上の二項関係 R を

<U₁, …, U_2ⁿ>R<V₁, …, V_2^m> ⇔ m=n+1かつU_i=V_2i

で定める．この R は明らかに「任意の a∈T に対してある b∈T が存在して aRb 」を満たす．故に従属選択公理から a₁ := <F, G^c> として列 a₁Ra₂R… が存在する．このとき a_n = <U_n,1, …, U_{n, 2ⁿ}> と書ける． U(m/2ⁿ) := U_{n, m} とすればよい．

更に容易に分かるように，従属選択公理はDMC(従属選択公理についてを参照)でもよい．

定理 DMC ⇒ Urysohnの補題

証明 DMCにより族 { F_n } _n=1^∞ を取る．以下のように書けると仮定してよい．

Fn= { xn(1), …, xn(mn) }
xn(j) = <Vn, 1(j), …, Vn, 2n(j)>
m1 = 1
V1, 1(1)∈OF, Gc
V1, 2(1) = Gc

また任意の n > 1 と 1≦j≦m_n に対して，ある k=k_{n, j} が存在して x_n-1^(k)Rx_n^(j) とできる，と仮定してよい．このとき U_{n, i} := ∩_1≦j≦mnV_{n, i}^(j) とすれば a_n := <U_{n, 1}, …, U_{n, 2ⁿ}>∈T である．

また

U_{n+1, 2i} = ∩_1≦j≦mn+1V_{n+1, 2i}^(j) = ∩_1≦j≦mnV_{n, i}^{(k_{n, j})} = ∩_1≦j≦mnV_{n, i}^(j) = U_{n, i}

となるから a_nRa_n+1 である．故にUrysohnの補題が従う．

また，Urysohnの補題は ZF で証明できないことが知られている．