2014年8月15日更新

Tychonoffの定理

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定義 Xを位相空間とする.

  1. X の開集合全体のなす集合を OX で表す.
  2. X の閉集合全体のなす集合を AX で表す.
  3. X がコンパクト
    ⇔ 部分集合 U(≠ ∅ )⊂OX が X=∪U を満たすならば,ある非負整数nとあるU0, …, UnUが存在して X=U0∪…∪Un

    集合Aに対して ∪A := ∪B∈A B, ∩A := ∩B∈A B である.

  4. FAX が有限交差性(finite intersection property)を持つ
    ⇔ 任意の非負整数nと任意のF0, …, FnFに対してF0∩…∩Fn≠∅.

補題1 位相空間Xに対して次の命題は同値.

  1. X がコンパクト
  2. FAX が有限交差性を持つ ⇒ ∩F≠ ∅

定義 X を位相空間とする.

  1. (I, ≦) を有向集合とするとき, { xi }i∈I (xi∈X) を X の有向点列という.
  2. x∈X が X の有向点列 { xi }i∈I の集積点(cluster point)
    ⇔ x の任意の開近傍 U⊂X と任意の i∈I に対して,ある j≧i が存在して xj∈U となる.
  3. X の有向点列 { xi }i∈I が x∈X に収束する
    ⇔ x の任意の開近傍 U⊂X に対してある i∈I が存在して,任意の j≧i に対して xj∈U となる.

定義 (I, ≦), (J, ≦) を有向集合とし, { xi }i∈I を X の有向点列とする.順序を保つ写像 i: J→I が「任意の i0∈I に対してある j∈J が存在して i0≦i(j) 」を満たすとき,有向点列 { xi(j) }j∈J を { xi }i∈I の部分有向点列という.

命題 X を位相空間とする.

  1. x∈X が X の有向点列 { xi }i∈I の集積点である
    ⇔ x に収束する { xi }i∈I の部分有向点列が存在する.
  2. X がコンパクト
    ⇔ X の任意の有向点列が集積点を持つ.
    ⇔ X の任意の有向点列が収束する部分有向点列を持つ.

定理以下の命題は(ZF上)同値.

  1. 選択公理
  2. コンパクト空間の直積はコンパクト (Tychonoffの定理)
  3. コンパクトなT1空間の直積はコンパクト
  4. 開集合が有限個な空間の直積はコンパクト
  5. 開集合が丁度3個な空間の直積はコンパクト

証明(1⇒2) {X_λ}_{λ∈Λ}をコンパクト空間の族とする. X :=Π_{λ∈Λ}X_λ がコンパクトであることを示すために, X の有向点列 ξ= { fi | i∈I } を取る. Σ⊂Λ に対して ξ|Σ:= { fi|Σ | i∈I } と書く.(各 fi∈X は写像であることに注意しておく.)

A:= { g | Σ⊂Λ, g∈Πλ∈ΣXλ, g は ξ|Σ の集積点 }

と定義し, A に包含関係 ⊂ で順序を入れる. A にZornの補題を適用する為に,部分全順序 C⊂A を取る. h := ∪g∈Cg , Σ := ∪g∈Cdom(g) と置く. h∈Πλ∈ΣXλ は ξ|Σ の集積点である.

任意の開近傍 U∋h と i∈I を取る. U=Πλ∈ΛUλ ,有限個の λ を除いて Uλ=Xλ ,としてよい. Uλ⊊Xλ となる λ 全体を λ1, …, λn とする.このときある g∈C が存在して λ1, …, λn∈dom(g) となる. g∈Πλ∈dom(g)Uλ であり, g が ξ|dom(g) の集積点だから,ある j≧i が存在して fj|dom(g)∈Πλ∈dom(g)Uλ となる.このとき定義から明らかに fj|Σ∈U である.よって h が ξ|Σ の集積点であることが分かった.

故に h∈A となるから, h が C の上界である.従ってZornの補題により A の極大元 g が存在する.

Σ := dom(g)⊊Λ と仮定する. μ∈Λ\Σ を取る. g は ξ|Σ の集積点だから, g に収束する部分有向点列 η= { fφ(j) | j∈J } が存在する.このとき η(μ):= { fφ(j)(μ) | j∈J } は Xμ の有向点列である.今 Xμ はコンパクトだったから, η(μ) の集積点 a∈Xμ が存在する.このとき Σ' := Σ∪{ μ } として g'∈Πλ∈Σ' Xλ

と定めれば g'∈A である.

g' が ξ|Σ' の集積点であることを示せばよい.その為に任意の開近傍 U∋g' と i∈I を取る. U=Πλ∈ΛUλ ,有限個の λ を除いて Uλ=Xλ ,としてよい. Uμ=Xμ の時は簡単に分かる. Uμ⊊Xμ とする. η が g に収束するから,ある j0≧i が存在して j≧j0 に対して fi|Σ∈Πλ∈ΣUλ である.一方 a=g'(μ) が η(μ) の集積点だったから,ある j≧j0 が存在して fj(μ)∈Uμ となる.よって fi|Σ'∈U である.

よって g'⊋g だから g の極大性に矛盾する.故に dom(g)=Λ であり, g は ξ の集積点である.

(2⇒3) 明らか

(3⇒1) {X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする.どのXλにも含まれない元∞ ∉ ∪_{λ∈Λ}X_λを用意し,Yλ := Xλ∪{∞} とする.各Yλの位相を

OYλ := { U⊂Yλ | Yλ\U は有限集合 }∪{ ∅, {∞} }

で定義する.各(Yλ, OYλ)はコンパクトである.

{ Ui }i∈IをYλの開被覆とする.OYλの定義から,Yλ\ Ui0が有限集合となるようなi0∈Iが存在する.Yλ\Ui0 = { y1, …, yn } と書く.{Ui}i∈Iが開被覆であることからyk∈Uikとなるikが存在する.この時 Yλ = Ui0∪Ui1∪…∪Uin.従ってYλはコンパクト.

また明らかにYλはT1空間でもある. 故に仮定3から直積空間 Y := Πλ∈ΛYλもコンパクトである. OYλの定義から,Xλ=Yλ\{∞}⊂ Yλは閉集合. 閉集合の族 {πλ-1(Xλ) }λ∈Λは有限交差性をもつ.

任意のλ1, …, λn∈Λに対し πλ1-1(Xλ1)∩…∩πλn-1(Xλn)≠ ∅ となることを示せばよい.各Xλは空でないから,xλ1∈Xλ1, …, xλn∈Xλn が取れる.λi以外のλ∈Λに対しては xλ := ∞として x := (xλ)∈Yを考える.明らかにπλi(x)∈Xλiだからx∈πλ1-1(Xλ1)∩…∩πλn-1(Xλn).

よって補題1から ∅ ≠∩λ∈Λπλ-1(Xλ)=Π_{λ∈Λ}X_λである.

(2⇒4) 開集合が有限個の空間はコンパクトなので明らか.

(4⇒5) 明らか.

(5⇒1) 3⇒1の証明において,Yλの位相を

OYλ := { ∅ , {∞}, Yλ }

で定めればよい.

定理 任意の整数n≧3に対して

選択公理 ⇔ 開集合が丁度 n 個な空間の直積はコンパクト

証明 Yλ := XλN (disjoint union)として

OYλ := { ∅ , N, Yλ, {4}, {4, 5}, …, {4, 5, …, n} }

と定めればよい.

定理任意の整数n≧3に対して,以下の命題は(ZF上)同値.

  1. 選択公理
  2. 互いに同相なコンパクト空間の直積はコンパクト
  3. 互いに同相な,開集合が丁度n個ある空間の直積はコンパクト

証明 1⇒2 と 2⇒3 は明らか.

(3⇒1) 選択公理は

非空集合の族{X_λ}_{λ∈Λ}で全てのXλの濃度が等しいもの,に対してΠ_{λ∈Λ}X_λ≠∅ .

と同値だった(集合に関する命題を参照)ことから明らか.

しかし,直接選択公理を示すことも出来るので,その証明を書いておく.簡単のためn=3とする.{X_λ}_{λ∈Λ}を互いに素な非空集合の族とする.

X:=∪_{λ∈Λ}X_λ, Y := X×NXとしてYの位相Oλ

Oλ := { ∅, Y, (X\ XλNX }

で定める. λ, μ∈Λとすると|Xλ×NX|=|Xμ×NX|である.

(x, f)∈X×NXに対しg=g(x, f)∈NX

y≠xのとき g(y) := 2f(y)
g(x) := 2f(x)+1

と定める.a∈Xμを取りφ: Xλ×NX→Xμ×NXをφ(x, f):=(a, g(x, f))で定める.するとφは単射である.よって | Xλ×NX |≦| Xμ×NX |となる.同様にして≧も言えるからBernsteinの定理より = が分かる.

そこで,全単射 F: Xλ×NX→Xμ×NX により 写像 G: (Y, Oλ)→ (Y, Oμ)を

x∈Xλのとき G(x, f) := F(x, f)
x∈Xμのとき G(x, f) := F-1(x, f)
それ以外のとき G(x, f) := (x, f)

と定める.するとGは同相写像である.故に族 { (Y, Oλ) }λ∈Λ は仮定3の条件を満たすのでΠλ∈Λ(Y, Oλ)はコンパクトである.閉集合の族 {πλ-1(Xλ×NX)}λ∈Λは有限交差性を持つから,

∅ ≠∩λ∈Λπλ-1(Xλ×NX)=Π_{λ∈Λ}X_λ×NX

故にΠ_{λ∈Λ}X_λ≠ ∅ である.

「コンパクトHausdorff空間の直積はコンパクト」は選択公理と同値でないことが知られている. (BPI (= Boolean Prime Ideal Theorem)と同値である.)

参考文献

  1. Horst Herrlich, Axiom of Choice,Springer, 2006
  2. Ofelia T. Alas, the Axiom of Choice and two particular forms of Tychonoff Theorem, Portugaliae Math., 28 (1969), 75-76
  3. Paul R. Chernoff, A Simple Proof of Tychonoff's Theorem Via Nets, Amer. Math. Monthly, Vol. 99, No. 10 (1992), 932-934, http://www.jstor.org/stable/2324485

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