2014年8月23日更新

順序集合の不動点定理

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定義 X を順序集合とする.

  1. X が帰納的 ⇔ 任意の部分全順序集合 C⊂X が上界を持つ.
  2. X が鎖完備 ⇔ 任意の部分全順序集合 C⊂X が上限を持つ.
  3. X が準帰納的 ⇔ 任意の部分整列順序集合 C⊂X が上界を持つ.
  4. X が準鎖完備 ⇔ 任意の部分整列順序集合 C⊂X が上限を持つ.
  5. x∈X に対して x := { y∈X | y < x } と置く.

定義 P = 帰納的,鎖完備,準帰納的,準鎖完備,に対して命題 Fi(P) を以下のように定める.

  1. F1(P) ⇔ X が P順序集合で,写像 f: X→X が「任意の x∈X に対して上限 sup{ x, f(x) } が存在する」を満たすならば, φ(x) := sup{ x, f(x) } は不動点を持つ.
  2. F2(P) ⇔ X が P順序集合で,写像 f: X→X が「任意の x∈X に対して x≦f(x) 」を満たすならば, f は不動点を持つ.
  3. F3(P) ⇔ X が P順序集合で,順序を保つ写像 f: X→X が「ある x∈X について x≦f(x) 」を満たすならば, f は不動点を持つ.
  4. F4(P) ⇔ X が P順序集合で,順序を保つ写像 f: X→X が「任意の x∈X について x≦f(x) 」を満たすならば, f は不動点を持つ.

定理 次の命題は( ZF 上)同値.

  1. 選択公理
  2. P = 帰納的,鎖完備,準帰納的,準鎖完備,に対する F1(P) , F2(P)
  3. P = 鎖完備,準鎖完備,に対する F3(P) , F4(P)

証明 「A ならば B」を「A→B」と書くとき,以下は明らかである.

よって以下を示せばよい.

(選択公理 ⇒ F1(帰納的)) Zornの補題により, X は極大元 x∈X を持つ. φ の定義より x≦φ(x) だから, x の極大性から x=φ(x) となり x が φ の不動点である.

(F1(P) ⇒ F2(P)) x≦f(x) だから, sup{ x, f(x) } = f(x) は存在する.よって F1(P) より φ(x) := sup{ x, f(x) } が不動点 y を持つ.このとき y = φ(y) = sup{ y, f(y) } = f(y) だから y は f の不動点である.

(F2(鎖完備) ⇒ F3(鎖完備)) A := { x∈X | x≦f(x) } と置く. f が順序を保つので, x≦f(x) ならば f(x)≦f(f(x)) ,故に f|A: A→A となる.部分全順序 W⊂A を取る. X が鎖完備だから上限 s = sup(W)∈X が存在する.任意の w∈W を取る. w≦s だから f(w)≦f(s) である. w∈A だったから w≦f(w)≦f(s) となる.即ち,任意の w∈W に対して w≦f(s) である.故に上限の定義から s≦f(s) となり s∈A である.即ち W⊂A は A の中に上界を持つことが分かった.よって仮定 F2(鎖完備)から f|A は不動点を持つ.

(F2(準鎖完備) ⇒ F3(準鎖完備)) 同様.

(F4(準鎖完備) ⇒ 選択公理) 整列可能定理を示す.任意の集合 S を取る.

X := { <T, ≦T> | T⊂S, ≦TはTの整列順序 }

と置く. X に順序 ≦ を

<T, ≦T> < <U, ≦U> ⇔ あるu∈Uが存在して<T, ≦T> = <u, ≦U|u>

と定める. <X, ≦> は準鎖完備順序集合である.直積 Y := X×N に辞書式順序を入れ,写像 f: Y→Y を f(T, n) := <T, n+1> で定める. f は明らかに不動点を持たず, y∈Y に対して y≦f(y) を満たす.よって仮定より Y は準鎖完備でない.故に部分整列順序集合 W⊂Y で上限を持たないものが存在する.このとき W1 := { T | <T, n>∈W }⊂X は部分整列順序集合である.故に上限 T = sup(W1)∈X を持つ.

T⊊S と仮定する.

(i) T∈W1 のとき
s∈S\T を取り, T に s を最大元として付け加えた順序集合を T+ とする.このとき T+∈X で,明らかに <T+, 0> = sup(W) となり矛盾する.

(ii) T ∉ W1 のとき
明らかに <T, 0> = sup(W) となり矛盾する.

(i)(ii)より T=S が分かり, S は整列可能である.

参考文献

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