2013年10月19日更新

Łośの定理とBPI

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Łośの定理にBPIを組み合わせると選択公理と同値になることが知られている.

定理 選択公理 ⇔ Łośの定理+BPI

証明 ⇐ を示す. {X_λ}_{λ∈Λ} を互いに素な非空集合の族, X := ∪λ∈ΛXλ とする. X∩Λ= ∅ としてよい. A := X∪Λ と置く.二項関係 R⊂A×A を

aRb ⇔ 「a∈X, b∈Λ, a∈Xb」または「a=b∈X」

で定める. A := <A, R> とする.

{X_λ}_{λ∈Λ} が選択関数を持たないと仮定する.

I := { Σ⊂Λ| { Xλ }λ∈Σは選択関数を持つ }

は Λ 上のイデアルである.BPIにより素イデアル P⊃I が存在する.このとき U := { Σ⊂Λ|Λ\Σ∈P } は Λ 上の超フィルターである.Łośの定理より A と AΛ/U は初等的同値である. R の定義より A |= ∀u∃v(vRu) が成り立つ.よって AΛ/U |= ∀u∃v(vRu) であるから, u := [idΛ]∈AΛ/U に対してある v∈AΛ/U が存在して vRu となる. f: Λ→A によって v=[f] と書けば Σ := { λ∈Λ| f(λ) R idΛ(λ) } ∈U である. R の定義から f(λ) R idΛ(λ) ⇔ f(λ)∈Xλ だから f|Σ は { Xλ } λ∈Σ の選択関数である.よって Λ\Σ∈F⊂U だから ∅ =Σ∩(Λ\Σ)∈U となり矛盾する.

参考文献

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