定理次の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. 任意の集合Xは整列順序付け可能 (整列可能定理)
3. 順序集合Xが「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすならば，Xの極大元が存在する．(Zornの補題)

証明 (1 ⇒ 2) Xを集合とする．Xが整列可能である事を示す．順序数λで，￢|λ|≦|X| となるものを取る．選択公理を A := P(X)＼{ ∅ } に適用して，選択関数 f: A→X を得る．Xに含まれない元 ∞ ∉ X を用意して，f( ∅ ) := ∞ と定義することで f を f: P(X)→X∪{∞} に拡張しておく．写像 g:λ→X∪{∞} を

g(α ) := f( X＼{g(β)|β<α} )

で定義する．α, β<λに対して，g(α)=g(β)≠∞ならば，α=βである．

β<αであるとする．g(α)≠∞だから，選択関数 f の性質より g(α) = f(X＼{g(β)|β<α}) ∈ X＼{g(β)|β<α} となる．即ち g(α) ∉ { g(β) | β<α } だから g(α)≠g(β) である．

よって，もし g(α) = ∞ となるα<λが存在しなければ，g:λ→X は単射となる．これは ￢|λ|≦|X| に矛盾する．故に g(α) = ∞ となる α<λ は存在する．そこで γ := min{ α<λ | g(α)=∞ }と置く．このときg|_γ:γ→X は全単射である．

∞ = g(γ) = f( X＼{g(β)|β<γ} )だから，X＼{g(β)|β<γ} = ∅，つまりg|_γは全射でなければならない．単射性は先に示したことから明らか．

よってこれによりXを整列する事ができる．

(2 ⇒ 3) (X, ≦)を順序集合として「任意の部分全順序集合は上界を持つ」を満たすとする．整列可能定理により，ある順序数λと全単射 f: λ→X が存在する．α<λに対してg(α)∈Xを超限再帰により次の二条件を満たすように定める．

(a) β<α ならば g(β)≦g(α)
(b) ￢g(α) < f(α)

(i) α=0 のとき．
g(0) := f(0) とすれば明らかに(a)(b)を満たす．

(ii) α>0 のとき．
(a)により { g(β) | β<α }⊂X は部分全順序集合である．故に仮定により上界を持つ．そこでその上界全体のなす集合をA_αと置いてγ_α := min f^-1(A_α) と定める．そして

f(γ_α) < f(α)のとき　g(α) := f(α)
そうでないとき　g(α) := f(γ_α)

と定める．すると明らかに(a)(b)を満たす．

(i)(ii)により写像 g: λ→X が定義された．(a)から { g(α) | α<λ }⊂X は部分全順序集合である．故に上界x∈Xが存在する．このx∈Xが極大元である．

y∈Xがx≦yを満たすとする．β := f^-1(y) と置く．xは { g(α) | α<λ }⊂X の上界だから g(β) ≦ x ≦ y = f(β) である．(b)により ￢g(β) < f(β) であるから g(β) = f(β) = y でなければならない．故に y = g(β) ≦ x である．よってxは極大元である．

(3 ⇒ 1) を非空集合の族とする．

A := { g:Σ→ | Σ⊂Λ, 任意のλ∈Σに対してg(λ)∈X_λ }

としてAに⊂で順序を入れる．B⊂Aを部分全順序集合とするとき ∪_g∈B g ∈ A は B の上界である．即ち A はZornの補題の仮定を満たす．故に極大元 f∈A を持つ．もし dom(f)≠Λ であれば f が極大であることに反するので dom(f)=Λ となる．故に f は選択関数である．

おまけ

(2⇒1)
を非空集合の族とする．整列可能定理によりを整列し f(λ) := (X_λの最小元) とすれば f が選択関数である．