可算和定理

命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という．可算和定理は選択公理が無ければ証明できない．

命題選択公理 ⇒ 可算和定理

証明 { X_n }_n=0^∞ を可算集合の族とする．簡単のため，各 X_n は可算無限集合で， n≠m ならば X_n∩X_m = ∅ であるとする． X_n が可算無限だから， A_n := { f: N→X_n | f は全単射 } ≠ ∅ である．よって選択公理により (f_n)_n=0^∞∈Π_n=0^∞A_n を取ることができる．これを使って f: N×N→∪_n=0^∞X_n を f(n, k) := f_n(k) で定めれば，f は全単射である．

定理「 R=∪_n=0^∞X_n ， |X_n|=₀ とは書けない」は ZF で証明できない．

証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする．以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする．

dom(p)⊂ω×ω ， |dom(p)| < ∞
<n, i>∈dom(p) に対して p(n, i)∈(ω_n)^M ．

P に順序を ≦:= ⊃ で入れる．

G := Aut(ω)^ω として， g = (g_k)_k∈ω∈G， p∈P に対して g(p) := { <n, g_n(i), α> | <n, i, α>∈p } と定める． n∈ω に対して H_n := { g = (g_k)_k∈ω∈G | k < n に対して g_k=id } と定める． F := { H⊂G | H は部分群，ある n∈ω が存在して H_n⊂H } とする． F はnormalフィルターであることが容易に分かる．

M 上 P ジェネリックな G を取り， F から定まるsymmetricモデル N⊂M[G] を取る． B_m := { p∈P | dom(p)⊂m×ω } と定める． p∈B_m，g∈H_m に対して g(p) = p である．

n∈ω に対して

Σ_n := { σ∈M^P | dom(σ)⊂ $\check{ω}$ , ran(σ)⊂B_n }
R_n := { <σ, 1> | σ∈Σ_n }
X := { <R_n, 1> | n∈ω }

とおく． R_n, X は P-名前である． g∈G，σ∈Σ_n とする． p∈B_n ならば g(p)∈B_n だから， g(σ) = { < $\check{m}$ , g(p)> | < $\check{m}$ , p>∈σ } ∈Σ_n である．よって任意の g∈G に対して g(R_n) = R_n ，即ち sym(R_n) = G となる．明らかに dom(R_n)⊂HS だから， R_n∈HS である．故に X∈HS も分かる．

R_n := val(R_n, G) ， X := val(X, G) = { R_n | n∈ω } と置く． X∈N である．故に ∪X = ∪_n=0^∞R_n∈N となる．任意の実数(即ち， ω の部分集合) x∈N を取る．val(x, G) = x を満たす P-名前 x∈HS を取る． dom(x)⊂ $\check{ω}$ としてよい． x∈HS だから，ある n∈ω が存在して H_n⊂sym(x) となる．よって， ran(x)⊂B_n でなければならない．従って x∈Σ_n となり， x = val(x, G)∈R_n が分かる．以上により， (2^ω)^N⊂∪_n=0^∞R_n である．

よって，各 R_n が N で可算であることを示せばよい．定義より， M の中で |Σ_n| = |P(ω×B_n)| = (2^ω_n)^M = (ω_n+1)^M である( M で GCH が成立することに注意する)．よって Σ_n = { s_α | α∈(ω_n+1)^M } と書ける． h := { op( $\check{α}$ , s_α) | α∈(ω_n+1)^M } と置けば h := val(h, G) = { <α, val(s_α, G)> | α∈(ω_n+1)^M } は全単射 h: (ω_n+1)^M→R_n となる．即ち， N の中で |R_n| = |(ω_n+1)^M| である．

n∈ω を取る．

f_n := { <op( $\check{i}$ , $\check{α}$ ), p> | i∈ω, p∈P, p(n, i)=α } ∈M^P

とする． g=(g_k)_k∈ω∈H_n+1 に対して

g(f_n) = { <op( $\check{i}$ , $\check{α}$ ), g(p)> | i∈ω, p∈P, p(n, i)=α }
= { <op( $\check{i}$ , $\check{α}$ ), p> | i∈ω, p∈P, g^-1(p)(n, i)=α }
= { <op( $\check{i}$ , $\check{α}$ ), p> | i∈ω, p∈P, p(n, g_n(i))=α }
= { <op( $\check{i}$ , $\check{α}$ ), p> | i∈ω, p∈P, p(n, i)=α }
=f_n

だから f_n∈HS である． f_n := val(f_n, G)∈N とすれば f_n は ω から (ω_n)^M への全射である．

任意の α∈(ω_n)^M を取る． D := { p∈P | ある i∈ω が存在して p(n, i)=α } と置けば D⊂P は稠密である． G が M 上 P -ジェネリックだから p∈D∩G が取れる．このとき p(n, i)=α とすれば f_n(i)=α である．

故に N において |R_n| = |(ω_n)^M| = ω である．

系可算和定理は ZF で証明できない．

系 Lebesgue測度の完全加法性は ZF で証明できない．

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