2014年9月28日更新

可算和定理

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命題「可算個の可算集合の和集合は可算集合」を可算和定理という.可算和定理は選択公理が無ければ証明できない.

命題 選択公理 ⇒ 可算和定理

証明 { Xn }n=0 を可算集合の族とする.簡単のため,各 Xn は可算無限集合で, n≠m ならば Xn∩Xm = ∅ であるとする. Xn が可算無限だから, An := { f: N→Xn | f は全単射 } ≠ ∅ である.よって選択公理により (fn)n=0∈Πn=0An を取ることができる.これを使って f: N×N→∪n=0Xn を f(n, k) := fn(k) で定めれば,f は全単射である.

定理R=∪n=0Xn , |Xn|=アレフ0 とは書けない」は ZF で証明できない.

証明 M を ZFC+GCH の可算推移的モデルとする.以下を満たす関数 p 全体がなす集合を P とする.

P に順序を ≦:= ⊃ で入れる.

G := Aut(ω)ω として, g = (gk)k∈ω∈G, p∈P に対して g(p) := { <n, gn(i), α> | <n, i, α>∈p } と定める. n∈ω に対して Hn := { g = (gk)k∈ω∈G | k < n に対して gk=id } と定める. F := { H⊂G | H は部分群,ある n∈ω が存在して Hn⊂H } とする. F はnormalフィルターであることが容易に分かる.

M 上 P ジェネリックな G を取り, F から定まるsymmetricモデル N⊂M[G] を取る. Bm := { p∈P | dom(p)⊂m×ω } と定める. p∈Bm,g∈Hm に対して g(p) = p である.

n∈ω に対して

Σn := { σ∈MP | dom(σ)⊂\check{ω}, ran(σ)⊂Bn }
Rn := { <σ, 1> | σ∈Σn }
X := { <Rn, 1> | n∈ω }

とおく. Rn, X は P-名前である. g∈G,σ∈Σn とする. p∈Bn ならば g(p)∈Bn だから, g(σ) = { <\check{m}, g(p)> | <\check{m}, p>∈σ } ∈Σn である.よって任意の g∈G に対して g(Rn) = Rn ,即ち sym(Rn) = G となる.明らかに dom(Rn)⊂HS だから, Rn∈HS である.故に X∈HS も分かる.

Rn := val(Rn, G) , X := val(X, G) = { Rn | n∈ω } と置く. X∈N である.故に ∪X = ∪n=0Rn∈N となる.任意の実数(即ち, ω の部分集合) x∈N を取る.val(x, G) = x を満たす P-名前 x∈HS を取る. dom(x)⊂\check{ω} としてよい. x∈HS だから,ある n∈ω が存在して Hn⊂sym(x) となる.よって, ran(x)⊂Bn でなければならない.従って x∈Σn となり, x = val(x, G)∈Rn が分かる.以上により, (2ω)N⊂∪n=0Rn である.

よって,各 Rn が N で可算であることを示せばよい.定義より, M の中で |Σn| = |P(ω×Bn)| = (2ωn)M = (ωn+1)M である( M で GCH が成立することに注意する).よって Σn = { sα | α∈(ωn+1)M } と書ける. h := { op(\check{α}, sα) | α∈(ωn+1)M } と置けば h := val(h, G) = { <α, val(sα, G)> | α∈(ωn+1)M } は全単射 h: (ωn+1)M→Rn となる.即ち, N の中で |Rn| = |(ωn+1)M| である.

n∈ω を取る.

fn := { <op(\check{i}, \check{α}), p> | i∈ω, p∈P, p(n, i)=α } ∈MP

とする. g=(gk)k∈ω∈Hn+1 に対して

g(fn) = { <op(\check{i}, \check{α}), g(p)> | i∈ω, p∈P, p(n, i)=α }
= { <op(\check{i}, \check{α}), p> | i∈ω, p∈P, g-1(p)(n, i)=α }
= { <op(\check{i}, \check{α}), p> | i∈ω, p∈P, p(n, gn(i))=α }
= { <op(\check{i}, \check{α}), p> | i∈ω, p∈P, p(n, i)=α }
=fn

だから fn∈HS である. fn := val(fn, G)∈N とすれば fn は ω から (ωn)M への全射である.

任意の α∈(ωn)M を取る. D := { p∈P | ある i∈ω が存在して p(n, i)=α } と置けば D⊂P は稠密である. G が M 上 P -ジェネリックだから p∈D∩G が取れる.このとき p(n, i)=α とすれば fn(i)=α である.

故に N において |Rn| = |(ωn)M| = ω である.

可算和定理は ZF で証明できない.

Lebesgue測度の完全加法性は ZF で証明できない.

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