定義 無限濃度 κ に対して次の命題を CH(κ) で表す．

κ≦μ≦2^κ ⇒ κ=μまたはμ=2^κ

定義 次の命題を一般連続体仮説(Generalized Continuum Hypothesis)という．

任意の無限濃度κに対して CH(κ)．

補題1 κ+1 < 2^κ ．

証明 κ+1 = 2^κ と仮定する．|X| =κ となる集合 X と ∞ ∉ X となる ∞ を取れば，全単射 g: P(X)→X∪{∞} が取れる．g(X) =∞ としてよい． f: κ^*→X∪{∞} を

f(α) := g(A_α)　(A_α⊂Xのとき．ここでA_α:= { f(β) | β < α } )
f(α) := ∞　(そうでないとき).

で定める．α < β < κ^* が f(α), f(β)≠∞ を満たすならば f(α)≠f(β) である．よって， κ^* の定義から， f(α) = ∞ となる α < κ^* が存在する．このとき γ := min{ α < κ^* | f(α)=∞ } と置けば f|_γ: γ→X は全単射である．故に X は整列可能であることが分かる．従って κ = κ+1 = 2^κ となり矛盾する．

補題2 κ≧₀ ならば 2^κκ^<ω．

証明 2^κ≦κ^<ω と仮定する．|X| =κ となる集合 X を取れば，単射 h: P(X)→X^<ω が存在する． W := { (Y, R) | Y⊂X は無限集合，(Y, R) は整列順序 } と置く．

(Y, R)∈W を取る．全単射 k_{(Y, R)}: Y→Y^<ω が取れる．

順序数・濃度の簡単なまとめの命題5の証明により，全単射 Y×Y→Y が標準的に取れる．これを使えば命題11の証明と同様にして全単射 k_{(Y, R)}: Y→Y^<ω が取れる．

D_{(Y, R)} := { x∈Y | あるZ⊂Xが存在して h(Z) = k_{(Y, R)}(x) かつ x ∉ Z }

と定義する．D_{(Y, R)}∈P(X) であるから h(D_{(Y, R)})∈X^<ω である．

ここで h(D_{(Y, R)})∈Y^<ω と仮定すると， k_{(Y, R)} が全単射だから，ある y∈Y により k_{(Y, R)}(y) = h(D_{(Y, R)}) と書ける．すると D_{(Y, R)} の定義より

y∈D_{(Y, R)}
⇔ ある Z⊂X　が存在して h(Z) = k_{(Y, R)}(y) かつ y ∉ Z
⇔ ある Z⊂X　が存在して h(Z) = h(D_{(Y, R)}) かつ y ∉ Z
⇔ y ∉ D_{(Y, R)}

となり矛盾する．故に h(D_{(Y, R)}) ∉ Y^<ωである．

よって有限列 h(D_{(Y, R)}) には X＼Y の元が少なくとも一つ現れるから，一番最初に現れたものを g(Y, R) と書く．こうして写像 g: W→X が定義されるが，これは (Y, R)∈W に対して g(Y, R) ∈ X＼Y を満たす．

今，κ≧₀ だから N⊂X としてよい．すると写像 f: κ^*→X が

f(α) := g(X_α, R_α)　(ここで X_α := N∪{ f(β) | β < α } として R_α は 0 < 1 < … < f(0) < f(1) < … から定まるX_αの整列順序とする．)

で定まる．この f は単射だから κ^* の定義に矛盾する．

定理 CH(κ) ならば κ² = 2・κ=κ ．

証明 CH(κ) とすると κ≦κ+1 < 2^κ から κ=κ+1 である．よって

κ≦2・κ≦2・2^κ = 2^κ+1 = 2^κ

となる． 2・κ=2^κ と仮定すると補題2に矛盾するから， CH(κ) により κ=2・κ である．よって

κ≦κ²≦(2^κ)² = 2^2・κ = 2^κ

である． κ² = 2^κ と仮定すると補題2に矛盾するから， CH(κ) により κ=κ² である．

系 一般連続体仮説 ⇒ 選択公理

定理 CH(κ) かつ CH(2^κ) ならば 2^κ=κ^* ．

証明 2^κ*≦2^2κ2 である．

CH(κ) により κ+1　=　κ，κ²=κ だから

2^κ
≦2^κ+κ^* < 2^2κ+κ* = 2^2κ・2^κ*≦2^2κ・2^2κ2
= 2^2κ・2^2κ = 2^2κ+2κ = 2^2κ+1
= 2^2κ

となり， CH(2^κ) より 2^κ = 2^κ+κ^* である．故に κ^*≦2^κ だから κ < κ+κ^*≦2^κ+2^κ = 2^κ となるので， CH(κ) により κ+κ^* = 2^κ である．故に 2^κ=κ^* である．

定義 次の命題をAleph Hypothesisという．

任意の順序数αに対して2^_α = _α+1．

明らかに， ZFC では「一般連続体仮説 ⇔ Aleph Hypothesis」である．

定理 ZFにおいて次が成り立つ．

1. 一般連続体仮説 ⇒ 選択公理
2. Aleph Hypothesis ⇒ 選択公理
3. 一般連続体仮説 ⇔ Aleph Hypothesis

証明 (1)既に示したが別の証明方法として，選択公理が次の命題と同値であることからも従う．

任意の濃度 μ に対して「 μ≦κ₀≦2^μ, μ≦κ₁≦2^μ なる濃度 κ₀, κ₁ は比較可能」である．

(濃度の比較可能性を参照．)

(2)選択公理が「整列集合の冪集合は整列可能」と同値であることから従う．(整列可能定理についてを参照．)

(3) 1，2により明らか．

一般連続体仮説とAleph Hypothesisの特殊な場合として，連続体仮説(　CH(₀) ) と 2^₀=₁ があるが，この二つは ZF で同値ではない．