2015年2月21日更新

Urysohnの補題

PDF版

ZFA+¬Urysohn のモデルを構成する. A を可算として, <A, ≦> ≅ <Q, ≦> となる A の順序 ≦ を取る. G を の順序同型全体とする.

I := { E⊂A | E は高々有限個しか集積点を持たない,かつ任意の無限部分集合S⊂Eは集積点を持つ }

とすると, I はnormalイデアルとなる. I によりpermutationモデル U を定める.

≦= { <a, b>∈A×A | a≦b } だから g∈G に対して

g(≦)
= { <g(a), g(b)>∈A×A | a≦b }
= { <g(a), g(b)>∈A×A | g(a)≦g(b) }
= ≦

である.故に fix(≦) = G だから ≦∈U となる.よって ∈U であり, A に順序位相が入る.

命題 A は T4 空間である.

証明 F0, F1⊂A を互いに素な閉集合とする. F0, F1 のそれぞれのsupportを E0, E1 として E := E0∪E1 と置く. T を E の集積点全体がなす有限集合とし, F0∩T = { x1, …, xm },T\ { x1, …, xm } = { y1, …, yn } と書く. F0, F1 は閉だから開区間 Ii∋xi,Jj∋yj で Ii∩F1 = ∅,Jj∩F0 = ∅ となるものが取れる.このとき Ii∩Jj = ∅ としてよい.

V := (∪iIi)∪(∪jJj) は T を含む開集合である. E の無限部分集合は集積点を持つから, V の定義により |E\V| < ∞ でなければならない. F0∩(E\V) = { xm+1, …, xm' },F1∩(E\V) = { yn+1, …, yn' } と書く.先と同じように開区間 Ii∋xi,Jj∋yj を取り, U0 := F0∪∪i=1m'Ii,U1 := F1∪∪j=1n'Jj と置けば F0⊂U0,F1⊂U1,U0∩U1 = ∅ である.

命題 連続関数 f: A→R は定数関数しかない.

証明 まず A がDedekindの切断公理を満たすことを示す. ∈U を A の切断とし, maxB も minC も存在しないと仮定する. E を B のsupportとする. E は集積点を有限個しかもたないから,閉区間 I⊂A で I∩B≠ ∅,I∩C≠ ∅,かつ I は E の集積点を含まないようにできる. E の無限部分集合は集積点をもつから, |I∩E| < ∞ でなければならない.従って初めから I∩E = ∅ としてよい.このとき g∈G を A\I 上恒等写像となるようにとれば g∈fix(E) である.故に g(B) = B とならなければならないが,明らかに g(B)≠B となるような g が存在し,矛盾する.従って max(B) か min(C) が存在し,Dedekindの切断公理が成り立つ.故に A では中間値の定理が成り立つ.

連続関数 f: A→R が定数関数でないと仮定する.すると中間値の定理から,ある s, t∈R , s < t が存在して [s, t]⊂f(A) となる.すると V での全射 A→[s, t] が得られるが, |A| = アレフ0 だったから矛盾する.従って f は定数関数である.

定理 Urysohnの補題は ZFA で証明できない.

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