2014年9月 6日更新

線型空間(その他)

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定理 k を体とするとき,
選択公理
⇔ 任意の k -線型空間 V とその部分空間 A に対し, A の補空間 B が存在する.
(即ち, A⊕B=V となる B .)

証明 (⇒) X := { W⊂V | W は部分空間, A∩W=0 } にZornの補題を適用すればよい.

( ⇐ ) 選択公理と同値なAMCを示す.

AMC (= the Axiom of Multiple Choice)とは次の命題のこと.

非空集合の族{X_λ}_{λ∈Λ}に対し,有限集合の族{F_λ}_{λ∈Λ}
任意のλ∈Λに対してF_λ⊂X_λとなるものが存在する.

同値性の証明はthe Axiom of Multiple Choiceを参照.

{ Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合, X := ∪λ∈ΛXλ とする.集合 Y に対して k(Y) で Y を基底とする k-線型空間を表す.各 λ∈Λ に対し

Aλ := { Σx∈Xλa(x)x∈k(Xλ) | Σx∈Xλa(x)=0 }

と定義する. A := ⊕λ∈ΛAλ⊂ ⊕λ∈Λk(Xλ) = k(X) に仮定を適用すると A⊕B = k(X) となる部分空間 B⊂k(X) が存在する.

x∈Xλ を x∈k(X) とみなして x = a(x)+b(x) (a(x)∈A, b(x)∈B) と表す.任意の x, y∈Xλ をとる. x-y∈A に注意すると

b(x)-b(y) = (x-a(x))-(y-a(y)) = (x-y)-a(x)+a(y)∈A

となるから b(x)-b(y)∈A∩B = 0 ,即ち b(x) = b(y) である.従って, bλ := b(x) は x∈Xλ の取り方によらず λ のみから定まる. bλ∈B⊂k(X) なので, bλ = Σy∈Xαλ(y)y と一意に表せる.そこで Fλ := { y∈Xλ | αλ(y)≠0 } と置く. Σy∈Xαλ(y)y は実質有限和だから Fλ も有限集合である.また, x∈Xλ に対し

x-Σy∈Xαλ(y)y = x-bλ = x-b(x) = a(x)∈A = ⊕λ∈ΛAλ

であるが, x-Σy∈Xαλ(y)y の Aλ 成分は明らかに x-Σy∈Xλαλ(y)y である. Aλ の定義より 1-Σy∈Xλαλ(y) = 0 ,故に αλ(y)≠0 となる y∈Xλ は存在する.即ち Fλ は空でない.以上によりAMCが成立する.

定理 次の命題は( ZF 上)同値.

  1. 選択公理
  2. 0 でない線型空間の族 { Vλ }λ∈Λ に対して,空でない有限集合の族 {X_λ}_{λ∈Λ} で各 Xλ は一次独立な部分集合 Xλ⊂Vλ となるものが存在する.(Vector Space Multiple Choice)
  3. 0 でない線型空間の族 { Vλ }λ∈Λ に対して,非空集合の族 {X_λ}_{λ∈Λ} で各 Xλ は一次独立な部分集合 Xλ⊂Vλ となるものが存在する.(Vector Space Kinna-Wagner Principle)

証明 1⇒2 と 2⇒3 は明らか.

(3 ⇒ 1) AMCを示す. {X_λ}_{λ∈Λ} を互いに素な非空集合の族とする.

Kλ := { f∈Q(Xλ) | f は 0 次の斉次式 }⊂Q(Xλ)

は部分体である. Q(Xλ) を Kλ 上の線型空間と見なし, Xλ で生成される部分空間を VλQ(Xλ) とする. dim Vλ = 1 である.

x0∈Xλ を一つ取る.このとき任意の x∈Xλ は x = (x/x0)x0 と書ける. x/x0∈Kλ だから, Vλ は Kλ 上一つの元 x0 で生成される.

仮定3を { Vλ } λ∈Λ に適用して { Yλ } λ∈Λ を得る. Yλ⊂Vλ は 0 でない一次独立な集合で, dim Vλ = 1 だったから Yλ = { vλ } と書ける.このとき

Fλ := { x∈Xλ | x は vλQ(Xλ) の表示に現れる }

と置けばよい.

AMC ⇒選択公理 は基礎の公理を使っているから,この 3⇒1 の証明も基礎の公理を使っていることになる.実は,この証明は基礎の公理無しで出来る.というのも,3から AC(<アレフ0) (有限集合の族に対する選択公理)が証明できる為である.

それを示すため, {X_λ}_{λ∈Λ} を非空有限集合の族とする. R 上の有限次元線型空間 RXλ を考える.部分空間 SλRXλ を Sλ := { f∈RXλ | f は定数関数 } で定める. Vλ := RXλ/Sλ として,族 { Vλ }λ∈Λ に仮定3を適用して { Yλ }λ∈Λ を得る. Yλ は有限集合である. vλ := Σy∈Yλy∈Vλ と置く. vλ = [f] となる f∈RXλ を取り, Fλ := { x∈Xλ | f は x で最小値を取る } と定める.これは f の取り方によらずwell-definedである.

[f] = [g] とすれば,ある r∈R により f(x) = g(x)+r と書ける.よって f(x) < f(x') ⇔ g(x) < g(x') である.

Yλ⊂Vλ は一次独立だったから,定義より vλ≠0 である.故に Vλ の定義から, vλ = [f] となる f∈RXλ は定数関数ではないので, Fλ ⊊ Xλ である.

後は,the Axiom of Multiple Choiceの定理2の証明と同様にすれば良い.

参考文献

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