2012年2月 1日更新

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定義 (L, ≦)を順序集合とする.任意の元x, y∈Lに対し,集合 {x, y}⊂L が 上限(=最小上界)と下限(=最大下界)を持つとき,(L, ≦)を束(lattice)という. x∨y := sup{x, y}, x∧y := inf{x, y} と書く.

  1. 最大元1と最小元0を持つ束を有界束(bounded lattice)という.
  2. 分配律 x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) を満たす束を分配束(distributive lattice)という. (このとき,分配律 x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z) も成り立つ.)
  3. 任意の部分集合が上限と下限を持つ束Lを完備束(complete lattice)という. A⊂L に対し supA = ∨A = ∨a∈A a などと表す.下限も同様.

    部分集合として空集合を考えれば 0 = ∨∅∈L, 1 = ∧∅∈L である.即ち完備束は有界束.

  4. 空でない集合Xに対し,冪集合P(X)は⊂によって束になる. ある X に対する (P(X), ⊂) と同型な束をpowerset latticeという.
  5. 空でない位相空間(X, OX)に対し,OXと AX := (Xの空でない閉集合全体) は包含関係⊂によって束になる. ある X に対する (OX , ⊂ ) と同型な束をopen lattice, (AX , ⊂ ) と同型な束をclosed latticeという.

定義(L, ≦)を順序集合とする.

  1. 空でない部分集合 F⊊L が次の二条件を満たすとき,Fをフィルター(filter)という.
    1. 任意の x, y∈F に対しある z∈F が存在して z≦xかつz≦y となる.
    2. x∈Fかつx≦y ならば y∈F
  2. フィルター F⊊L を含むフィルターがF自身しかないとき,Fを極大フィルター(maximal filter)という.
  3. Lを束とする.フィルター F⊊L が

    x∨y∈F ⇒ x∈Fまたはy∈F

    を満たすとき,Fを素フィルター(prime filter)という.

定理次の命題は(ZF上)同値.

  1. 選択公理
  2. 二元以上持つ有界束は極大フィルターを持つ
  3. 二元以上持つ完備束は極大フィルターを持つ
  4. 二元以上持つ分配有界束は極大フィルターを持つ
  5. 任意のclosed latticeは極大フィルターを持つ

証明(1 ⇒ 2) Zornの補題による.

(L, ≦)を非自明有界束として集合 X := { F⊂L | Fはフィルター } を考える.⊂で X に順序を入れる.C⊂X を部分全順序集合とする.C = ∅ のときは {1}⊊L が C の上界である.C≠∅ のとき,F := ∪G∈C G とすればFはフィルターである.

フィルターの定義を確かめる.

(1) x, y∈Fを取る.x∈G1, y∈G2となるG1, G2∈Cが存在する. (C, ⊂)は全順序だから G1⊂G2 または G2⊂G1 である.G1⊂G2 としても一般性を失わない.このとき x, y∈G2 となる.G2 はフィルターだから z≦x, z≦y となる z∈G2⊂F が存在する.

(2) x∈F, y∈L を取る.x∈G となる G∈C が存在する.G はフィルターだから y∈G⊂F となる.

故にCは上界Fを持つ.故にZornの補題よりXは極大元を持つ.それが極大フィルターである.

(2 ⇒ 3)と(2 ⇒ 4)は明らか.

(3 ⇒ 5)と(4 ⇒ 5)は,closed latticeが非自明完備分配束であることから明らか.

(5 ⇒ 1) {X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする. どのXλにも含まれない元∞を考え,Yλ := Xλ∪{∞} とする. Aλ := {Yλ}∪{ A⊂Xλ | Aは有限集合 } をYλの閉集合全体としてYλに位相を定める. 直積位相空間 Y := Πλ∈Λ Yλ を考える. (∞)λ∈Λ ∈Y だから,Y は空ではない. よって仮定5よりclosed lattice AY は極大フィルターFを持つ. πλ: Y→ Yλを射影として Fλ := { A∈Aλ | πλ-1(A)∈F } と定める. 各Fλは素フィルターである.

A∪B∈Fλとする. F∋πλ-1(A∪ B)=πλ-1(A)∪πλ-1(B) であるからFの極大性によりπλ-1(A)∈Fまたはπλ-1(B)∈Fである. 故にA∈FλまたはB∈Fλ

Λ1 := { λ∈Λ | Fλ={Yλ} },Λ2 := Λ\Λ1とする.λ∈Λ2とすると,A∈Aλとなる有限集合 A⊂Xλ がある. 故に素フィルターの性質から {xλ}∈Fλ となるxλ∈Xλが唯一つ存在することが分かる. よって(xλ)λ∈Λ2∈Πλ∈Λ2Xλが取れる. つまり,Λ2=Λ (即ちΛ1=∅ ) を示せば証明が終わる. y=(yλ )λ∈Λ ∈Y を

λ∈Λ1のとき yλ := ∞
λ∈Λ2のとき yλ := xλ

で定義する.λ∈Λとして,U⊂Yλをyλの開近傍とする. πλ-1(U)はFの全ての元と交わる.

任意のB∈Fを取る.するとyの任意の近傍はBと交わる. FはAYのフィルターだから,B∈Fは閉集合. 従ってy∈Bとなる.Bは任意だったから y ∈ ∩F := ∩B∈F B である. ∩Fは閉集合だから,cl({y})⊂∩F となる( cl は閉包). また cl({y}) = cl(Πλ∈Λ {yλ})⊂Πλ∈Λ cl({yλ}) である.

λ∈Λ1のとき Zλ := Yλ
λ∈Λ2のとき Zλ := {xλ}

と置けば cl({yλ})=Zλ だから cl({y})=Πλ∈Λ Zλ となる.

Λ1≠∅と仮定する.μ∈Λ1とzμ∈Xμを取り, 閉集合 {zμ}×Πλ≠μ Zλ⊂Y で生成されるAYのフィルターを考える.これは明らかにFより真に大きいので,極大性に矛盾する. 故にΛ1=∅である.

定義完備束Lがcompletely distributive
⇔任意の族{X_λ}_{λ∈Λ}と 任意の写像 x: ∪λ∈Λ ({λ}×Xλ)→L に対し

∧_{λ∈Λ}∨_{a∈X_λ}x(λ, a)=∨_{(a_λ)∈X}∧_{λ∈Λ}x(λ, a_λ)

が成立する(ただし,X := Π_{λ∈Λ}X_λと置いた).

定理次の命題は(ZF上)同値.

  1. 選択公理
  2. 全順序な完備束はcompletely distributive
  3. powerset latticeはcompletely distributive
  4. 完備束 2 := {0, 1} はcompletely distributive

証明(1 ⇒ 2) Lを全順序な完備束として,集合族{X_λ}_{λ∈Λ}と 写像 x: ∪λ∈Λ ({λ}×Xλ)→L を取る. X := Π_{λ∈Λ}X_λと置く.

まず≧を示す.任意の(aλ)∈Xを取る.各λ∈Λについて ∨_{a∈X_λ}x(λ, a)≧x(λ, aλ).故に

∧_{λ∈Λ}∨_{a∈X_λ}x(λ, a)≧∧λ∈Λ x(λ, aλ)

(aλ)∈X は任意だったから

∧_{λ∈Λ}∨_{a∈X_λ}x(λ, a)∨_{(a_λ)∈X}∧_{λ∈Λ}x(λ, a_λ)

が示された.次に≦を示す.

y:=∧_{λ∈Λ}∨_{a∈X_λ}x(λ, a)

と置く.λ∈Λとすると∨_{a∈X_λ}x(λ, a)<yでない. よってLは全順序だから∨_{a∈X_λ}x(λ, a)≧yである. 故にあるa∈Xλが存在してx(λ, a)<yでない. Lは全順序だからx(λ, a)≧yである. 即ち,Aλ := { a∈Xλ | x(λ, a)≧y } とすると 任意のλ∈Λに対してAλ≠∅となる. 選択公理によりΠλ∈Λ Aλ≠∅, 即ち元(bλ)∈Πλ∈Λ Aλが存在する. Aλの定義から,各λ∈Λに対しx(λ, bλ)≧ yとなる. このとき

y≦∧λ∈Λ x(λ, bλ)≦∨_{(a_λ)∈X}∧_{λ∈Λ}x(λ, a_λ)

だからyの定義により

∧_{λ∈Λ}∨_{a∈X_λ}x(λ, a)∨_{(a_λ)∈X}∧_{λ∈Λ}x(λ, a_λ)

が示された.

(1 ⇒ 3) 選択公理から「∩, ∪の分配律」が従うことから分かる.

これは実は同値である.∪∩の分配法則を参照.

(2 ⇒ 4) 2 が全順序であることから明らか.

(3 ⇒ 4) 2 = {0, 1} = {∅, {∅}} = P({∅}) から明らか.

(4 ⇒ 1) {X_λ}_{λ∈Λ}を非空集合の族とする. X := Π_{λ∈Λ}X_λと置く. x: ∪λ∈Λ({λ}×Xλ)→2 を x(λ, a) := 1 で定めれば

1=∧_{λ∈Λ}∨_{a∈X_λ}1=∨_{(a_λ)∈X}∧_{λ∈Λ}1=∨_{(a_λ)∈X}1

a∈∅ xa = 0 だから,最右辺が1になる為には X≠ ∅ でなければならない.

コメント

(名無し) | 2014年5月21日 01:44

ぷよぷよだけでなく集合論でも助けになりました!
ありがとうございました!

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