∪∩の分配法則

集合の共通部分や和集合を取る演算は分配法則 x∩(y∪z) = (x∩y)∪(x∩z)，x∪(y∩z) = (x∪y)∩(x∪z) が成り立つことが良く知られているが，これを無限個に拡張すると選択公理と同値になる．

定理 ${X_λ}_{λ∈Λ}$ は非空集合の族を表すとし，X := $Π_{λ∈Λ}X_{λ}$ と置く．次の命題は同値．

選択公理
任意の ${X_λ}_{λ∈Λ}$ と，定義域が∪_λ∈Λ({λ}×X_λ)である写像Aに対し

$∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ)$ = $∪_{(x_λ)∈X}∩_{λ∈Λ}A(λ, x_λ)$
任意の ${X_λ}_{λ∈Λ}$ に対し

$∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}x_λ =∪_{(x_λ)∈X}∩_{λ∈Λ}x_λ$

証明 (1⇒2) まず⊃は選択公理によらずZFで成立している．

任意のu∈ $∪_{(x_λ)∈X}∩_{λ∈Λ}A(λ, x_λ)$ を取る．即ち，ある元 (y_λ)_λ∈Λ ∈X が存在して u∈∩_λ∈Λ A(λ, y_λ) となる．よって各λ∈Λに対して u∈A(λ, y_λ)⊂ $∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ)$ だからu∈ $∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ)$ である．

なので⊂を示せばよい．u∈ $∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ)$ とする．即ち，任意のλ∈Λに対してu∈ $∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ)$ である．つまりB_λ := { x_λ∈ X_λ | u∈A(λ, x_λ) }は空でない．そこで{B_λ }_λ∈Λ に選択公理を適用して元(y_λ )_λ∈Λ∈Π_λ∈Λ B_λ⊂X を得る．このとき

u∈∩_λ∈Λ A(λ, y_λ) ⊂ $∪_{(x_λ)∈X}∩_{λ∈Λ}A(λ, x_λ)$ .

(2⇒3) A(λ, x) := x として仮定を適用すれば明らか．

(3⇒1) 集合uを任意に一つ選んでおく．任意の ${X_λ}_{λ∈Λ}$ を取り， λ∈Λに対して Y_λ := { {u, x} | x∈X_λ } と置く． Y := Π_λ∈Λ Y_λとして {Y_λ }_λ∈Λ に仮定3を適用すれば

$∪_{(y_λ)∈Y}∩_{λ∈Λ}y_λ =∩_{λ∈Λ}∪_{y_λ∈Y_λ}y_λ =∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}{u, x}∋u$

従って，ある(y_λ)∈Yが存在して u∈∩_λ∈Λ y_λ となることが分かる．Y_λの定義から y_λ = {u, x_λ} となるx_λ∈X_λが唯一つ存在する．このとき (x_λ)_λ∈Λ ∈X だから X ≠ ∅ ．

(名無し) | 2020年12月31日 17:36

①「{X_λ}_{λ∈Λ}は非空集合の族を表すとし」の仮定は2.と3.に不要。

②∪_{x_λ∈X_λ}A(λ,x_λ)は∪_{x∈X_λ}A(λ,x)など、等号の左辺側のx_λの添え字λはなしと思います。

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