2011年11月17日更新

∪∩の分配法則

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集合の共通部分や和集合を取る演算は分配法則 x∩(y∪z) = (x∩y)∪(x∩z),x∪(y∩z) = (x∪y)∩(x∪z) が成り立つことが良く知られているが,これを無限個に拡張すると選択公理と同値になる.

定理 {X_λ}_{λ∈Λ}は非空集合の族を表すとし,X :=Π_{λ∈Λ}X_{λ}と置く. 次の命題は同値.

  1. 選択公理
  2. 任意の{X_λ}_{λ∈Λ}と, 定義域が∪λ∈Λ({λ}×Xλ)である写像Aに対し

    ∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ) =∪_{(x_λ)∈X}∩_{λ∈Λ}A(λ, x_λ)

  3. 任意の{X_λ}_{λ∈Λ}に対し

    ∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}x_λ
=∪_{(x_λ)∈X}∩_{λ∈Λ}x_λ

証明 (1⇒2) まず⊃は選択公理によらずZFで成立している.

任意のu∈∪_{(x_λ)∈X}∩_{λ∈Λ}A(λ, x_λ)を取る. 即ち,ある元 (yλ)λ∈Λ ∈X が存在して u∈∩λ∈Λ A(λ, yλ) となる. よって各λ∈Λに対して u∈A(λ, yλ)⊂∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ) だからu∈∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ)である.

なので⊂を示せばよい.u∈∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ)とする. 即ち,任意のλ∈Λに対してu∈∪_{x_λ∈X_λ}A(λ, x_λ)である. つまりBλ := { xλ∈ Xλ | u∈A(λ, xλ) }は空でない. そこで{Bλ }λ∈Λ に選択公理を適用して 元(yλ )λ∈Λ∈Πλ∈Λ Bλ⊂X を得る. このとき

u∈∩λ∈Λ A(λ, yλ) ⊂∪_{(x_λ)∈X}∩_{λ∈Λ}A(λ, x_λ).

(2⇒3) A(λ, x) := x として仮定を適用すれば明らか.

(3⇒1) 集合uを任意に一つ選んでおく. 任意の{X_λ}_{λ∈Λ}を取り, λ∈Λに対して Yλ := { {u, x} | x∈Xλ } と置く. Y := Πλ∈Λ Yλとして {Yλ }λ∈Λ に仮定3を適用すれば

∪_{(y_λ)∈Y}∩_{λ∈Λ}y_λ
=∩_{λ∈Λ}∪_{y_λ∈Y_λ}y_λ
=∩_{λ∈Λ}∪_{x_λ∈X_λ}{u, x}∋u

従って,ある(yλ)∈Yが存在して u∈∩λ∈Λ yλ となることが分かる.Yλの定義から yλ = {u, xλ} となるxλ∈Xλが唯一つ存在する. このとき (xλ)λ∈Λ ∈X だから X ≠ ∅ .

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