T_0部分空間
定義集合Aが 「Y∈A ⇔ Yの任意の有限部分集合Zに対しZ∈A」 を満たすとき，Aは有限性を持つという． このとき命題
有限性をもつ非空集合Aは(⊂に関する)極大元をもつ．
をTukeyの補題という．
定理選択公理⇔Tukeyの補題
証明Zornの補題・極大原理を参照．
定義Xを位相空間とする．
- Y⊂Xが稠密 ⇔ 空でない任意の開集合O⊂Xに対しY∩O≠ ∅
- Y⊂Xがcodense ⇔ 空でない任意の閉集合F⊂Xに対しY∩F≠ ∅
- Y⊂Xがthick ⇔ 空でない任意の開かつ閉な集合H⊂Xに対しY∩H≠ ∅
定理次の命題は(ZF上)同値．
- 選択公理
- 任意の位相空間は極大なT0部分空間を持つ．
- 任意の位相空間は極大なT1部分空間を持つ．
- 任意の位相空間は稠密なT0部分空間を持つ．
- 任意の位相空間はcodenseなT0部分空間を持つ．
- 任意の位相空間はthickなT0部分空間を持つ．
証明(1 ⇒ 2) (X, O)を位相空間とする． A := { Y⊂X | (Y, O|Y)はT0空間 } とおけば Aは有限性を持つ．
まずY∈Aとする．任意の有限部分集合Z⊂Yを取る． 異なる二点x, y∈Z⊂Yを取ると，(Y, O|Y)はT0だから あるU∈O|Yが存在して
(x∈U かつ y ∉ U)または(x ∉ U かつ y∈U)
を満たす．このときU∩Z∈O|Zであり
(x∈U∩Z かつ y ∉ U∩Z)または(x ∉ U∩Z かつ y∈U∩Z)
が成り立つ．故に(Z, O|Z)はT0である．即ちZ∈ A．
次にY⊂ Xが「任意の有限部分集合Z⊂Yに対しZ∈A」を満たすとする． 異なる二点x, y∈ Yを取ると{x, y}∈ Aである． よって({x, y}, O|{x, y})はT0であるから， あるU∈O|{x, y}が存在して
(x∈ Uかつy∉ U)または(x∉ Uかつy∈ U)
を満たす．O|{x, y}の定義から，あるV∈Oが存在して U=V∩{x, y}と書ける．このときV∩Y∈O|Yで
(x∈V∩Y かつ y ∉ V∩Y)または(x ∉ V∩Y かつ y∈V∩Y)
が成り立つ．故に故に(Y, O|Y)はT0である．即ちY∈A．
以上よりAは有限性を持つ．
従ってTukeyの補題によりAは極大元を持つ．その極大元が極大なT0部分空間である．
(2 ⇒ 4) X を位相空間とする．仮定2により，極大T0部分空間 Y⊂X が存在するが，これは稠密である．それを示すため，稠密でないと仮定する．開集合 ∅≠U⊂X で X∩U=∅ となるものが存在する． x∈U を一つ取れば Y∪{ x } ⊂X はT0部分空間である．故に Y の極大性に矛盾する．
(2 ⇒ 5)同様である．
(4 ⇒ 6)(5 ⇒ 6)明らか．
(6 ⇒ 1)
を互いに素な非空集合の族とする．
各 Xλ に密着位相を入れて直和
を考える．
仮定6により X はthickなT0部分空間 Y⊂X を持つ．
Xλ⊂X は開かつ閉だから，Y がthickであることより Xλ∩Y ≠ ∅ が分かる．
一方 Y はT0だから | Xλ∩Y | = 1 でなければならない．
即ち Y はの選択集合である．
(1 ⇔ 3)も同様にして証明できる．証明のT0の部分をT1に変えればよい．
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