任意の群のp-Sylow部分群の存在
定義 Gを群，pを素数とする．
- 部分群H⊂Gがp-部分群 ⇔ 任意の元x∈Hの位数がp冪である
- 部分群H⊂Gがp-Sylow部分群 ⇔ Hは極大なp-部分群である
定理
pを素数とする．このとき
選択公理 ⇔ 任意の群Gのp-Sylow部分群が存在する．
証明 (⇒) Zornの補題より明らか．
(←)
を非空集合の族とする．Gλ := { x1x2… xn | n∈N, xi∈Xλ，同じ元はp個連続して現れない } とするとGλは結合(x1… xn, y1… ym) |→ x1… xny1… ymにより群になる．(ただし，結合により同じ元がp個連続した場合はその部分を単位元1とみなす．)
G := ⊕λ∈ΛGλとしてπλ: G→ Gλをλ成分への射影とする．仮定によりGのp-Sylow部分群H⊂Gが存在する．このときπλ(H)はGλのp-Sylow部分群である．
明らかにπλ(H)はp-部分群である．πλ(H)⊊ Hλ⊂Gλをp-部分群とする．g∈Hλ＼πλ(H)が取れる．iλ: Gλ→ Gを標準入射としてHとiλ(g)で生成される部分群を H'⊂GとすればH ⊊ H'⊂Gで H' はp-部分群である．故にHの極大性に矛盾する．従ってπλ(H)はp-Sylow部分群である．
特にπλ(H)≠1であることに注意しておく．
g=x1… xn∈πλ(H)＼{1} (xi∈Xλ)とすると， gの位数kは勿論有限であり 1 = gk = (x1… xn)(x1… xn)…(x1… xn)である．よって積の定義から，x1=xnでなければならない．
次にg=x1… xn∈πλ(H)＼{1}, h=y1… ym∈πλ(H)＼{1} (xi, yi∈Xλ)とすると，x1=y1である．
gh = z1… z_l (zi∈Xλ)と書ける．
(i) m+n=lのとき．この場合，先に述べたことによりx1=z1=z_l=ym=y1である．
(ii) m+n<lのとき．この場合，積の定義からxn=y1であるから，x1=y1である．
即ち，各λ∈Λに対してπλ(H)＼{1} の元の先頭に来るXλの元は一意に定まる．そこでそれをxλとすれば(xλ)λ∈Λ∈
が取れる．
参考文献
- Paul E. Howard and Mary Yorke, Maximal p-Subgroups and the Axiom of Choice, Notre Dame Journal of Formal Logic, 28 (1987), 276--283
コメント
(ii) m + n < l とありますが, 不等号の向きが逆であると思います.