Lebesgue非可測集合の存在
Lebesgue測度の性質 実数直線RのLebesgue測度をμで表すことにする．
- E, Fが可測集合で E⊂F となるときμ(E)≦μ(F)
- 互いに交わらない可算個の可測集合E_1, E_2, …に対しμ(∪_k E_k)=Σ_k μ(E_k)
- 可測集合Eと実数xに対し E+x := { y+x | y∈E } と置くときμ(E+x)=μ(E)
- μ(R) = ∞
これらの性質と選択公理を使って，非可測集合が存在することを示す．
定理 Lebesgue非可測集合(⊂R)が存在する
証明 R/Q を考える．
R上の同値関係～を
x～y ⇔ x-y∈Q
で定義する．この時 R/Q := R/～である．
R/Q の元は R の部分集合である．同値類の性質より，これらの元は互いに交わらない．よって選択公理により各元 A∈R/Q から1つずつ実数 x(A) を選べる．この時，A∩[0, 1]≠∅ だから，x(A)∈[0, 1] となるように選ぶことができる．
正確に言えば，集合 X := { [0, 1]∩A | A∈R/Q } に選択公理を適用するということ．
V := { x(A) | A∈R/Q } とおく．x(A)の選び方により V⊂[0, 1] である．
V がLebesgue可測だと仮定する．正整数 k に対し V_k := V + 1/k と置く． Lebesgue測度の性質によりμ(V)=μ(V_k)．また，k≠lならばV_k∩V_l = ∅ である．
x∈V_k∩V_l とするとある実数 y, z∈V が有って x = y+1/k = z+1/l．よってy-z∈QだからVの定義より y=z，よって 1/k = 1/l である．即ち k=l．
また，明らかに V_k⊂[0, 2] である．故に正整数 n に対し
nμ(V) = Σ_{k=1}^n μ(V_k) = μ(∪_{k=1}^n V_k)≦μ([0, 2]) = 2.
nはいくらでも大きく取れるからμ(V)=0でなければならない．
さて，Vの定義より R=∪_{q∈Q}(V+q) (disjoint union) と書けるが，Qは可算集合だから
∞ = μ(R) = μ(∪_q (V+q)) = Σ_q μ(V+q) = Σ0 = 0
となり矛盾する．故にVはLebesgue非可測である．
参考文献
- 田中 尚夫『選択公理と数学』
コメント
Hamel基底から証明するアプローチは無いのでしょうか。
前略
壱代整域殿、福島原発収束と関る私の知財との関連で私作成の簡易ホームページ→http://www.maroon.dti.ne.jp/atnep/ にて`核物質の計測,2015´とした欄で引用させて頂きました。種々の理由で連絡が遅れ申し訳有りません。数学的な検討ではなく、係る仮想的検討で最もイメージが近いと判断し紹介させていただきました。現在(2016)、事故収束が遅れ、緊急発言-3の欄で英訳での表題部紹介を試みましたが、キーボードでの記号返還が出来ず一部英文説明にて記号の内容を不可説明で補いました。私は、数学/科学の専門家ではないので、総ての適用における検討や数学的詳細を行う知識と時間がなく現在もそれは同様です。～遅ればせながら、ご連絡まで～
2016年3月30日09:49とし、コメント掲載されている坪井です。記載コメント一部‛不可説明’➔‛付加説明’の誤記載へ訂正の御連絡が遅れました。将来的展望の広さに期待申上げます。
最後の「Vの定義より R=∪_{q∈Q}(V+q) (disjoint union) と書けるが」のところが，どうして書けるのかが分かりません．
任意のa∈[0,1]を選んできた時に，あるA∈R/Qが存在して，a∈Aですから，xをx(A)=aとなるように選べば，a∈Vとなることは分かります．しかし違うxを選べばa∉Vかもしれません．ですので任意のa∈[0,1]を選んだときにa∈Vとなるかどうかはxの選び方に依存します．
もし R=∪_{q∈Q}(V+q) であるとすれば，任意のa∈Rに対して，あるq∈Qが存在してa∈V+qでなければなりません．Vを作る時のxの選び方によっては当然a∈V+qとはなりますが，選び方によってはa∉V+qのようになるかもしれないのですがどうでしょうか．理解が足りないでしょうか？
一言でいえば商集合の定義から自明となります。
おっしゃる通り、任意のa∈Rに対して、あるA∈R/Qが存在してa∈Aです。x(A)の定義から x(A)∈A でもあるので、a～x(A) が分かります。～の定義から a-x(A)∈Qです。つまりq∈Qをうまく取ってa=x(A)+qとできます。x(A)∈Vなのでa∈V+qです。
可測集合と非可測集合の本質的な違いを、具体例を使って説明してほしいです。
このような質問をさせていただくのは、私が今話題の機械学習を始めたことにあります。機械学習には統計学という解析学の応用を使った技術ですが、機械学習でできることと人間にしかできないことの本質的な差というのは、人間だけが持っている計算以外の何かだということになると思います。機械学習では大量のデータを処理しますが、そのとき何を量として扱っているのか、またどのような方法で量を図っているのかに関心があります。人間の心の中にしかない、言葉の意味であるとか、美的感覚、あるいは人間の欲求や心などが機械に理解できるのか。また、できないのであればそれはなぜか、その答えが測度論にあるような気がしました。今はまだ集合と位相の本の最初で躓いてしまって、なかなか先に進めない素人ですが、このサイトで理解できるヒントを得られればと思い質問させていただきました。回答のほど、よろしくお願いいたします。
漠然とした質問ですが、もし図れない集合というものがあるのであれば、いくつかパターンはあると思いますが、それはどのような意味で測れないのか、またすべての有限集合は可測であると考えてしまって構わないのか。それだけでもいいです。
どのような意味で測れないのか、というのは、Lebesgue測度の定義を見てくださいとしか言えないので、まず集合と位相の本を進めるというのが正解だと思います。
また有限集合は全て可測です。
逆に，
「非可測集合が存在する」ことから，「選択公理」
は導出できないのでしょうか？
非可測集合の存在は選択公理より真に弱い仮定(BPIなど)から導かれるため、不可能です。
ルベーグ可測ではない集合E(⊂[0,1])が存在するこを示したいのですが、(1)～(5)の問いの解き方がわかりません。
(1)[0,1]から元yを取り出すと、これはR/Qのどれかの余剰類Cに入っていることから[0,1]⊂∪_q∈Q∩[-1,1](E+q)が成り立つことを示せ
(2)∪_q∈Q∩[-1,1](E+q)⊂[-1,2]が成り立つことを示せ
(3)q_1,q_2∈Qかつq_1≠q_2ならば(E+q_1)∩(E+q_2)=Φが成り立つことを示せ
(4)1≦m(U_q∈Q∩[-1,1](E+q))≦3を示し、さらに加算加法性と平行移動不変性からm(U_q∈Q∩[-1,1](E+q))=Σ_q∈Q∩[-1,1]m(E+q)=Σ_q∈Q∩[-1,1]m(E)も示せ
(5)和Σ_q∈Q∩[-1,1]m(E)は0である(m(E)=0のとき)か、無限大(m(E)>0のとき)のいずれかであり、このことからEがルベーグ可測であるとしたことで矛盾が生じたことを示せ