2014年8月 9日更新

集合に群構造が入る

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定理

選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに群構造を入れることができる

証明 (⇒) Xが有限集合の時は自明( Z/nZ を考えればよい)だから,Xは無限集合とする.Pfin(X) := { x⊂X | xは有限集合 } と書くことにする.選択公理より,|X| = |Pfin(X)|,即ち全単射 X→Pfin(X) が存在する.

実は「任意の無限集合Xに対し |X| = |Pfin(X)| 」は選択公理と同値である.証明は基数の性質の定理9を参照.

よって Pfin(X) に群構造を入れられることを示せばよい.

自然な同一視 P(X) = 2X で考えると Pfin(X) = { f∈2X | 有限個のx∈Xを除いてf(x)=0 }である.2 = {0, 1} = Z/2Z は体だから,それの直積である2Xは自然に環となる.このとき明らかに Pfin(X)⊂2X は(加法についての)部分群である.故に Pfin(X) に群構造を入れることができた.

同じことだが,直接演算を定義しても証明できる.

Pfin(X)上の二項演算を対称差Δで定義する.(これが2Xでの加法に対応する.) 即ち

xΔy := (x∪y)\(x∩y) = (x∪y)∩(xc∪yc)

である.(Pfin(X), Δ)は群になる.

xΔ∅ = ∅Δx = x より ∅∈F(X) が単位元. xΔx = ∅ より x-1=x.故に結合律を示せばよい.x, y, z∈F(X) に対し

(xΔy)Δz
=[(x∪y)∩(xc∪yc)]Δz
=( [(x∪y)∩(xc∪yc)]∪z ) ∩ ( [(x∪y)∩(xc∪yc)]c∪zc )
=( [(x∪y)∪z]∩[(xc∪yc)∪z] ) ∩ ( [(xc∩yc)∪(x∩y)]∪zc )
=( [x∪y∪z]∩[xc∪yc∪z] ) ∩ ( (xc∩yc)∪(x∩y)∪zc )
=(x∪y∪z) ∩ (xc∪yc∪z) ∩ (xc∪y∪zc) ∩ (yc∪x∪zc)
=(x∪y∪z) ∩ (x∪yc∪zc) ∩ (xc∪yc∪z) ∩ (xc∪y∪zc)
=( x∪[(y∪z)∩(yc∪zc)] ) ∩ ( xc∪(yc∩zc)∪(y∩z) )
=( x∪[(y∪z)∩(yc∪zc)] ) ∩ ( xc∪[(yc∩zc)∪(y∩z)] )
=( x∪[(y∪z)∩(yc∪zc)] ) ∩ ( xc∪[(y∪z)∩(yc∪zc)]c )
=( x∪(yΔz) ) ∩ ( xc∪(yΔz)c )
=xΔ(yΔz)

故に結合律が成り立つ.

(←)整列可能定理を示す.X≠∅ を任意の集合とする.単射λ→X が存在しないような順序数λが存在するので,そのようなλを1つ取っておく.

λ := {β:順序数 | 単射β→Xが存在する } と置けばよい.基数の性質の命題の証明を参照.

仮定により X∪λを群にすることができる.(その積を・とする.)このとき

任意のx∈Xに対して,あるα∈λ が存在してx・α∈λ

が成立する.

x∈Xとする.写像 f: λ→X∪λ をf(α) := x・αで定義すれば,これは積・の性質により単射となる.よって,λの取り方から ¬Im(f)⊂X でなければならない.故にあるα∈λが存在して x・α = f(α) ∉ X,即ちx・α∈λである.

さて,直積λ×λに辞書式順序を入れる.するとこれは整列順序になる.そこでg\colon X→λ×λを

g(x) := min{ <α, β>∈λ×λ | x・α=β }

と定義すると,gは単射であり,よってXは整列可能である.

この定理を見てすぐに思いつくのは,群の部分を環や体などの別の構造にしたらどうなるか,という問題である.まず次の2点に注意する.

(1) Pfin(X)⊂2Xは積についても閉じている. 故にPfin(X) は(単位元を持たない)可換環になる.

P(X)の∩が2Xの積に対応している.勿論, 先ほどと同様に直接 (Pfin(X), Δ, ∩) が環になることを示すこともできる.

(2) ← の証明には積・から得られる写像が単射であることしか使っていない.特に,積・が

∀x, y, zに対し( x・y=x・z ⇒ y=z )
∀x, y, zに対し( x・z=y・z ⇒ x=y )

という性質を満たしていれば先の証明は実行できる. (この条件を満たすことを消約(cancellative)と言うことにする.) 従って次の系が分かる.

前定理は群の部分を

更に,次のことも分かる.

定理 次の命題は( ZF 上)同値.

  1. 選択公理
  2. 任意の集合に単位的可換環の構造を入れることができる.
  3. 任意の無限集合に整域の構造を入れることができる.
  4. 任意の無限集合に体の構造を入れることができる.

証明 4⇒3 と 3⇒2 と 2⇒1 は明らかだから,1⇒4 を示せばよい.その為には無限集合 X に対して |X|=|Q(X)| を示せばよい.

まず明らかに |X|≦|Q(X)| である. α∈Q に対して

Aα := { αx1…xn | n∈N, xi∈X } ⊂Q(X)

と置けば

|Q(X)|≦|Pfin(∪α∈QAα)| = |∪α∈QAα|≦アレフ0・|A1| = |A1|

だから |A1|≦|X| を示せばよい.

有限集合 Y = { x1, …, xn } ⊂X に対して BY := { x1e1…xnen | ei > 0 } と書く.このとき A1 = ∪Y∈Pfin(X)BY である.今, |BY| = アレフ0|Y| = アレフ0 だから

|A1| = ΣY∈Pfin(X)|BY| = ΣY∈Pfin(X)アレフ0 = |Pfin(X)|・アレフ0 = |X|・アレフ0 = |X|

である.

参考文献

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