2013年10月19日更新

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定義 X を位相空間とする.

  1. X が T3 ⇔ 閉集合 F⊂X と x∈X\F に対して,開集合 U, V⊂X が存在して x∈U, F⊂V,U∩V= ∅ とできる.
  2. X が T ⇔ 閉集合 F⊂X と x∈X\F に対して,連続関数 f: X→R が存在して「f(x)=0 かつ任意の y∈F に対して f(y)=1 」とできる.
  3. X がTychonoff ⇔ X が T1 かつ T
  4. 一点集合 { x } の閉包を cl(x) と書く.
  5. X に同値関係 ~ を x~y ⇔ cl(x)=cl(y) で定義する.商空間 X/~ を X の T0-reflectionという.
  6. X が R1 ⇔ X の T0-reflectionがHausdorff.
  7. x∈X の開近傍系を Ox として Ax := ∩U∈OxU と書くことにする.

定義 命題 (R),(RT), (CRT),(CCRT) を以下のように定める.
(R) ⇔ X の任意のコンパクト R1 位相 R に対して, X のコンパクトHausdorff位相 T⊃R が存在する.
(RT) ⇔ X の任意のコンパクト R1 位相 R に対して, X のコンパクトTychonoff位相 T⊃R が存在する.
(CRT) ⇔ X の任意のコンパクト T3 位相 R に対して, X のコンパクトTychonoff位相 T⊃R が存在する.
(CCRT) ⇔ X の任意のコンパクト T 位相 R に対して, X のコンパクトTychonoff位相 T⊃R が存在する.

命題1 cl(x)⊂cl(y) ⇒ Ax⊃Ay .特に x~y ⇒ Ax=Ay

証明 cl(x) ⊂cl(y) とすると x∈cl(y) である.故に U∈Ox とすれば y∈U でなければならない.従って Ox⊂Oy ,即ち Ax⊃Ay である.

命題2 X を R1 空間, x, y∈X とする. x∈U, y ∉ U なる開集合 U⊂X が存在するならば,ある開集合 V, W⊂X が存在して x∈V, y∈W, V∩W= ∅ となる.

証明 開集合 U が x∈U, y ∉ U を満たすとする. X\U は閉集合で x ∉ X\U, y∈X\U となるから cl(x)≠cl(y) である.従って, X/~ を X の T0-reflectionとして [・] で同値類を表せば [x]≠[y] となる. X が R1 だから X/~ はHausdorffであり,よって開集合 V', W'⊂X/~ が存在して [x]∈V', [y]∈W', V'∩W'= ∅ とできる. π: X→X/~ を標準全射として V:=π-1(V'), W:=π-1(W') とすれば x∈V, y∈W, V∩W= ∅ である.

命題3 X を R1 空間とすれば x~y でないならば Ax∩Ay= ∅ である.

証明 命題2より明らか.

命題4 T3 空間は R1 空間である.

証明 X を T3 空間, X/~ を T0-reflectionとする.異なる2点 [x], [y]∈ X/~ を取る.x~y でないから,開集合 U⊂ X で x∈U,y ∉ U となるものが取れるとしてよい.F := X\U とすれば x ∉ F,y∈F である.今 X が T3 だから,ある開集合 V, W⊂X が存在して x∈V, F⊂W, V∩W = ∅ となる.π: X→X/~ を標準全射として V^ := π(V) , W^ := π(W) とすれば,V^, W^⊂X/~ は開集合で [x]∈V^,[y]∈W^,V^∩W^ = ∅ である.故に X/~ はHausdorff空間だから, X は R1 空間であることがわかる.

命題5 コンパクト R1 空間は T3 空間である.

証明 (X, O) をコンパクト R1 , F⊂X を閉集合, x∈X\F とする. U := { <U, V>∈O2 | x∈U, U∩V = ∅ } と置く.命題2により { V | <U, V>∈U } は F の開被覆である. X のコンパクト性により閉集合 F もコンパクトだから,ある <U1, V1>, …, <Un, Vn>∈U が存在して F⊂V1∪…∪Vn と書ける.このとき U := U1∩…∩Un , V := V1∩…∩Vn も開集合で x∈U,F⊂V,U∩V= ∅ である.

命題6 選択公理 ⇒(R)

証明 (X, R) をコンパクト R1 位相空間とする. A := { Ax | x∈X } と置く.命題3より集合 A⊂P(X) は互いに素な集合の族であるから,選択公理により A の選択集合 C⊂X が存在する. B := X\C として

S := { V\Q | V∈R, Q∈Pfin(B) }

と定める. B := S∪Pfin(B) として, B で生成される X の位相を T とする. T⊃R である. (X, T) はHausdorff空間である.

x, y∈X, x≠y とする. x, y∈C とすれば C の取り方により U∈R で x∈U, y ∉ U となるものが存在する.従って命題1からある開集合 V, W∈R⊂T が存在して x∈V, y∈W, V∩W= ∅ となる.

x ∉ C とすると x∈B だから { x } ∈T, X\ { x } ∈T となりよい. y ∉ C のときも同様.

(X, T) がコンパクトであることを示すには「 X の開被覆 U⊂B に対してある U0, …, Un∈U が存在して X=U0∪…∪Un 」を示せばよい.

そこで U⊂B を X の開被覆とする.

V := { V∈R | ある Q∈Pfin(B) が存在して V\Q∈U }

とする.任意の x∈X に対してある V∈V が存在して x∈V となる.

x∈X とする. C の取り方から,ある c∈C が存在して x∈Ac となる. U が X の開被覆だから,ある U∈U が存在して c∈U となる. U⊂B だから U∈B=S∪Pfin(B) であるが,今 c∈C=X\B であるから U ∉ Pfin(B) ,即ち U∈S でなければならない.従ってある V∈R と Q∈Pfin(B) が存在して U=V\Q と書ける.よって c∈U⊂V∈V である.このとき x∈Ac⊂V となる.

即ち V⊂R は X の開被覆だから (X, R) のコンパクト性によりある V1, …, Vn∈V が存在して X=V1∪…∪Vn と書ける. V の定義より,各 1≦i≦n に対してある Qi∈Pfin(B) が存在して Ui := Vi\Qi∈U となる. Q := Q1∪…∪Qn は有限集合である. U が X の開被覆だから,各 q∈Q に対して q∈Uq∈U となる Uq∈U が取れる.このとき X=∪i=0nUi∪∪q∈QUq である.

逆 (R)⇒選択公理 が ZF で証明できるかどうかは未解決問題とのこと.

定理 次の命題は(ZF上)同値.

  1. 選択公理
  2. (RT)
  3. (CRT)
  4. (CCRT)

証明 (1 ⇒ 2) 選択公理⇒(R) と,選択公理の元で「コンパクトHausdorffならばTychonoff」であることから明らか.

(2 ⇒ 3) T3 ならば R1 (命題4)より明らか.

(3 ⇒ 4) 明らか.

(4 ⇒ 1) W を非可算整列順序集合,2 := {0, 1} を離散位相空間として直積空間 A := 2W を考える. A はコンパクトかつ T である.

W の整列性により,選択公理を使わずにコンパクト性が言える.Tychonoffの定理の別証明を参照.

1∈A を定数関数として B := A\{1} と置く. B は T である.

B の任意のTychonoffコンパクト化は A と同相であることが分かる.

{X_λ}_{λ∈Λ}を互いに素な非空集合の族とする. Yλ := XλsqcupB とする. B の位相を OB として, Yλ の位相 Oλ

OB∪ { O⊂Yλ | Yλ\OはBのコンパクト部分集合 }

で生成される位相とする.

このとき各 (Yλ, Oλ) は T であることが分かる.

Y := Σλ∈ΛYλ を直和空間として (Z, OZ) を Y の一点コンパクト化とする. Z はコンパクト T である.故に (CCRT) により, Z のコンパクトTychonoff位相 T⊃OZ が存在する.このとき部分位相 (Yλ, T|Yλ) はコンパクトTychonoffで, B⊂(Yλ, T|Yλ) の閉包 Bλ は B のTychonoffコンパクト化である.故にこれは A と同相で,特に Bλ\B= { xλ } (xλ∈Xλ) となる.これにより (xλ)∈Π_{λ∈Λ}X_λである.

命題 (X, OX) をHausdorff空間とする. Y を集合, f: Y→X を全射として Y の位相 OY を f により誘導されるものとすれば (Y, OY) は R1 である.

証明 Y の同値関係を y~fy' ⇔ f(y)=f(y') で定めれば ~ = ~f である.

¬y~fy' とする. X がHausdorffだから U∈OX で f(y)∈U, f(y') ∉ U となるものが存在する.このとき y∈f-1(U), y' ∉ f-1(U) で f-1(U)∈OY だから¬y~y' である.

¬y~y' とする. V∈OY で y∈V, y' ∉ V となるものが存在するとしてよい. U∈OX を V=f-1(U) となるように取れば f(y)∈U, f(y') ∉ U だから ¬y~fy' となる.

故に (Y, OY) の T0-reflectionは Y/~ ≅ X であり,Hausdorffである.

命題 (R)⇒非空有限集合の族{X_λ}_{λ∈Λ}は選択関数を持つ.

証明 {X_λ}_{λ∈Λ} を非空有限集合の族とする. R∪_{λ∈Λ}X_λ= ∅ としてよい. T を区間 [0, 1) の通常の位相として, Yλ := [0, 1)∪Xλ に T∪ { (x, 1)∪Xλ|0 < x < 1 } で生成される位相 Rλ を入れる. (Yλ, Rλ) は明らかにコンパクト R1 空間である.

直和 Y := Σλ∈ΛYλ の,Alexandroff一点コンパクト化 (Y', R) を考える. (Y', R) は明らかにコンパクト R1 空間である.故に (R) により Y' のコンパクトHausdorff位相 O⊃R が存在する. (Yλ, O|Yλ) はコンパクトHausdorff空間である.

部分空間 I := [0, 1)⊂(Yλ, O|Yλ) の位相は通常の位相と一致する.

J := [0, 1) を通常の位相が入った空間とすれば T⊂Rλ⊂O だったから id: I→J は連続全単射である.これは明らかに開写像だから id は同相,よって I の位相は通常の位相と一致する.

Aλ を [0, 1)⊂(Yλ, O|Yλ) の閉包として Bλ := Aλ∩Xλ とする. [0, 1)⊂Yλ はコンパクトでないから閉でない.故に Bλ≠ ∅ となる. λ∈Λ に対して |Bλ|=1 である.

b∈Bλ を一つ取り C := Bλ\ { b } と置く. Aλ⊂Yλ は閉集合だから (Aλ, O|Aλ) はコンパクトHausdorff,即ち正則である.従ってある開集合 U, V∈O|Aλ が存在して b∈U, C⊂V, U∩V= ∅ とできる.このとき { U, V } ∪ { [0, x) | 0<x<1 } は Aλ = [0, 1)∪Bλ の開被覆であるから, Aλ のコンパクト性によりある 0<x<1 を使って Aλ=U∪V∪[0, x) と書ける.このとき ([x, 1)∩U)sqcup([x, 1)∩V)=[x, 1) となるから [x, 1) の連結性より [x, 1)∩U= ∅ または [x, 1)∩V= ∅ とならなければならない. Aλ の定義から,その為には U= ∅ または V= ∅ でなければならない.今 b∈U だから V= ∅ であり, C⊂V だから C= ∅ ,よって Bλ= { b } となる.

よって Bλ:= { bλ } とすれば (bλ)λ∈ΛΠ_{λ∈Λ}X_λである.

定理 (R) に次の命題を加えると選択公理と(ZF上)同値になる.

  1. P(R) は整列可能.
  2. R は整列可能.
  3. Nの非単項超フィルターが存在する.
  4. ある無限集合 A と A の非単項超フィルターが存在する.

証明 選択公理⇒1,1⇒2,2⇒3,3⇒4と「4かつ(R)⇒選択公理」を示せばよい.選択公理⇒1と1⇒2と3⇒4は明らか.

(2 ⇒ 3) R が整列可能だから 2N が整列可能.これを使って超フィルター F⊂2N を構成することが出来る.

(4かつ(R) ⇒ 選択公理) { Xλ }λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする.仮定によりある無限集合 A と非単項超フィルター F⊂P(A) が存在する. A∩(∪_{λ∈Λ}X_λ) = ∅ としてよい.

λ∈Λ とする. Yλ := Xλ∪A の位相を

Oλ := { B⊂Yλ | B⊂Aまたは「Xλ\B⊂Aかつ|Xλ\B| < ∞」 }

で定める.直和 Y := Σλ∈Λ(Yλ, Oλ) の一点コンパクト化を (Z, R) とする. (Z, R) はコンパクト R1 空間である.故に仮定 (R) により Z のコンパクトHausdorff位相 T⊃R が存在する.このとき Rλ := R|Xλ と定める. Fλ⊂P(Yλ) を F で生成される超フィルターとすれば Fλ は (Xλ, Rλ) で唯一つの収束点 xλ を持つ.

これにより (xλ)λ∈Λ∈Πλ∈ΛXλ を取ることができる.

参考文献

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