2012年2月17日更新

剰余群の完全代表系の存在

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定理 集合族{X_λ}_{λ∈Λ}が 「任意のλ∈Λに対し |Xλ|≧2 」を満たすとき, ある集合族{Fλ}λ∈Λが存在して 「任意のλ∈Λに対して Fλ⊂Xλかつ|Fλ|は奇数」である.(これをOACと呼ぶ)
⇔ G をアーベル群で G の任意の元の位数が 2 以下であるとする. このとき部分群 H⊂G に対して G/H の完全代表系が存在する.

証明(⇒) OAC を G/H に適応して集合族 { FC }C∈G/H を得る. このとき,|FC|が奇数であることから gC := Σx∈FC x ∈ C が分かる. 故に { gC | C∈G/H } が完全代表系である.

(←) {X_λ}_{λ∈Λ}が「任意のλ∈Λに対し |Xλ|≧2 」を満たすする.これらは互いに素としてよい.VλをXλで生成される二元体 F2 上の線型空間とする.即ち

Vλ = { Σx∈Xλαx x | αxF2,有限個を除いてαx=0 }

である.V := ⊕λ∈Λ Vλ とする. 勿論 V は加法によりアーベル群で,任意の元の位数が 2 以下である. 任意の元 v∈V は v=Σλ∈Λx∈Xλαλ, x(v) x)と一意に書ける.

H := { v∈V | 任意のλ∈Λに対してΣx∈Xλαλ, x(v) = 0 }

と置くと H⊂V は部分群である.μ∈Λに対して

Gμ := { v∈V | Σx∈ Xμαμ, x(v)=1, 任意のλ≠μに対してΣx∈ Xλαλ, x(v) = 0 }

とすれば Gμ∈V/H となる. 仮定により完全代表系 P を取ることができる. P∩Gμ = { gμ } と書く.このとき Fλ := { x∈Xλ | βλ, x(gμ)=1 }⊂Xλ と置けば明らかに |Fλ| は奇数である.

the Axiom of Multiple ChoiceによればOACは選択公理と同値であるから,次の系が分かる.

以下の命題は(ZF上)同値.

  1. 選択公理
  2. G をアーベル群で G の任意の元の位数が 2 以下であるとする.このとき部分群 H⊂G に対して G/H の完全代表系が存在する.
  3. G をアーベル群,H を部分群とすれば,G/H の完全代表系が存在する.

OACと選択公理が同値であることは基礎の公理を使っているから,この系の 2⇒1 と 3⇒1 には基礎の公理が使われていることになる.実は,3⇒1 は基礎の公理を使わずに証明できるのでその証明を書いておく.

証明選択公理と同値な次の命題を示す.

集合族{X_λ}_{λ∈Λ}が「任意のλ∈Λに対し |Xλ|≧2 」を満たすとき, Λ上の関数 f が存在して任意のλ∈Λに対して ∅ ≠f(λ) ⊊ Xλかつ|f(λ)|<∞ となる.

同値性の証明はthe Axiom of Multiple Choiceの定理2を参照.

{X_λ}_{λ∈Λ}を |Xλ|≧2 を満たす族とする.これらは互いに素としてよい. Vλ を Xλ で生成されるアーベル群とする.即ち

Vλ = { Σx∈Xλαx x | αxZ,有限個を除いてαx=0 }

である.V := ⊕λ∈Λ Vλとする. 任意の元 v∈V は v=Σλ∈Λx∈Xλαλ, x(v)x)と一意に書ける.

H := { v∈V | 任意のλ∈Λに対してΣx∈Xλαλ, x(v)=0 }

と置くと H⊂V は部分群である.μ∈Λに対して

Gμ := { v∈V | Σx∈Xμαμ, x(v)=1, 任意のλ≠μに対してΣx∈Xλαλ, x(v)=0 }

とすれば Gμ∈V/H となる. 仮定により V/H の完全代表系Pを取ることができる. P∩Gμ = { gμ }として

f(μ) := { x∈Xμ | αμ, x(gμ) > 0 }⊂Fμ

と定める.明らかに |f(μ)|<∞ である. また gμ∈Gμ であることから f(μ)≠ ∅ が分かる. 更に |Xμ|≧2 だから f(μ) ⊊ Xμ となり,証明が終わった.

参考文献

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