圏論
このページについて
※特に断らない限り、圏はlocally smallであると仮定しています。
※上から順に読むことを想定しています。
※定義が書いてない言葉があったりするので、その場合はnLabを見るなりしてください。
※選択公理は特に断らず使います。
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全ての概念はKan拡張である: 第0章～第2章(Cauchy完備化は除く)
全ての概念はKan拡張であるII～豊穣圏論～: 第3章 2-category、豊穣圏
■PDFの量が多すぎると思うので第0章～Kan拡張のPDF(kan_extension.pdf)までの内容を短くまとめたPDFを作りました⇒可能な限り最短でKan 拡張に到達する (2023-09-06更新)
第0章 圏論入門
圏論を全く知らない人向けの解説です。圏論に馴染みのある方は飛ばしてもらって大丈夫です。
- 圏論とは何か PDF版 (2021-04-02更新、2023-12-29微修正)
本当に何も知らない人向け。圏の定義と例を使って，圏論がどういうものなのかを紹介します。
- 圏の構成例 PDF版 (2024-01-14微修正)
与えられた圏から新たな圏を構成する方法(直積・直和・スライス圏・コスライス圏・部分圏)を紹介します。
- 普遍性 PDF版 (2021-04-02修正、2024-01-16微修正)
圏論で重要な考え方の一つ「普遍性」について説明します。
- 例: 位相空間上の層 PDF版 (2021-04-02修正、2024-01-14微修正)
圏論に慣れるための具体例の一つとして，層を取りあげてみます。
興味が無ければ飛ばして大丈夫です。
- 双対 PDF版 (2024-01-14微修正)
双対の例について説明します。極限・余極限やモノ射・エピ射など。
- 自然変換・圏同値 PDF版 (2023-08-20更新、2023-12-19微修正)
2つの圏が「同じ」であることを意味する「圏同値」について説明します。
- 例: 基本亜群 PDF版 (2021-04-02修正、2023-07-18微修正)
圏論に慣れるための具体例の一つとして，「圏論とは何か」で出てきた基本群をもう少し詳しく説明します。
興味が無ければ飛ばして大丈夫です。
第1章 圏論
第2章を読むに当たって、必要な基本的事項を説明します。
- 自然変換・関手圏 PDF版 (2023-08-20更新、2024-01-14微修正)
自然変換の合成についての説明。
- 米田の補題 PDF版 (2023-08-20更新、2024-01-14微修正)
- コンマ圏 PDF版 (2024-01-14微修正)
圏の構成法の中で最も重要なコンマ圏を説明します。
- 極限 PDF版 (2023-08-20更新、2024-01-16微修正)
より一般の極限・余極限と、表現可能関手について説明します。
- 随伴関手 PDF版 (2021-07-15更新、2024-01-16微修正)
第2章 全ての概念はKan拡張である
- Kan拡張 PDF版 (2024-01-17更新)
Kan拡張の基本的事項と普遍随伴について。
- 例: 位相空間上の層 その2 PDF版 (2023-12-30更新)
普遍随伴の例として層を取りあげます。第0章のその1も参照。
- 例: 単体的集合 PDF版 (2020-12-06追加、2023-07-19微修正)
普遍随伴の例として単体的集合を扱います。∞圏(quasi-category)の定義を理解するのが目的です。
- 随伴関手定理 PDF版 (2024-01-13更新、2024-01-15微修正)
随伴関手はKan拡張である。
- 圏の「対数」 PDF版 (2021-04-02更新、2024-01-14微修正)
随伴がなす圏と「対数」について。
- フィルター圏 PDF版 (2019-03-15更新、2024-01-13微修正)
フィルター圏、sifted categoryについて。
- エンド PDF版 (2024-01-15微修正)
圏における「積分」について
- 余米田の補題 PDF版 (2024-01-02微修正)
米田の補題は右Kan拡張である。よって左Kan拡張バージョンを考えることで余米田が得られる。
- ココンマ圏とprofunctor PDF版 (2023-01-02更新、2024-01-14微修正)
- Cauchy完備化 PDF版
- Isbell双対 PDF版 (2020-07-18追加、2021-04-02微修正)
第3章 高次元圏
- 2-category PDF版 (2022-11-09更新)
2-categoryの定義と米田について。加えて2-categoryでの図式の取り扱いとKan拡張・随伴の定義。
- 豊穣圏 PDF版 (2022-11-09更新)
豊穣圏においても全ての概念はKan拡張である。
- 例: Mitchellの埋込定理 PDF版 (2022-08-28更新、2022-08-29修正)
豊穣圏の例としてアーベル圏を扱い、小アーベル圏はR加群の圏に埋め込めることを示します。
- 2-categoryでの極限 PDF版 (2021-05-18更新)
strict 2-categoryにおける極限・余極限について。コンマ対象など。
- bicategoryでの極限 PDF版 (2021-05-18追加)
bicategoryにおける極限・余極限について。
- 各点Kan拡張 PDF版 (2021-04-11更新、2021-07-24微修正)
2-categoryにおける各点Kan拡張
- モナド PDF版
モナドは単なる1から2-categoryへのlax 2-functorだよ。何か問題でも?
- fibration PDF版 (2017-05-02追加)
Grothendieck fibrationとか。まだ書き途中なのでテキトーに眺めてください
- pseudo double category PDF版 (2022-06-05追加)
double categoryを使った各点Kan拡張
- モデル圏 PDF版 (2019-03-24更新)
導来関手の定義まで
- 3-category PDF版 (2017-07-31追加、2018-08-29微修正)
tricategoryの定義のみ(読む意味無し)
第4章 トポス
- トポス PDF版 (2018-05-05追加)
トポスの定義と、前層の圏がトポスになることについて
第?章 ???
- 双積・弱完全圏 PDF版 (2021-09-18更新、2023-12-28微修正)
いわゆる蛇の補題を証明します。
- 選択公理なしの圏論 PDF版 (2022-05-23追加)
選択公理を仮定せずに第一章程度の内容を説明します。
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