2016年05月21日更新

このページについて

このページは圏論について解説することを目的としたページです。2013年くらいから、私が勉強したことを順次まとめて公開しています。

元々圏論についてはそれ以前から知っていましたが、「言葉として非常に便利なもの」という認識でした(参考: 圏論とは何か – はじまりはKan拡張)。ところがある日、ある人に圏論を教えてもらい、圏論はそれ自体が非常に面白いものだということが分かりました。それを紹介し、圏論の面白さを知ってもらうことがこのページの目的です。

特にKan拡張と呼ばれるものについては「全ての概念はKan拡張である」という言葉が生まれるほど様々なことが知られており、圏論が面白い点の一つだと感じています。そこでこのページではKan拡張に重点を置いた記述をしていて、特に第2章がメインコンテンツとなります。ただ、Kan拡張を学ぶにはいくつか必要な知識がある為、それを第1章という形で説明しています。第0章は圏論を全く知らない人向けの説明となるので、普段の数学で圏論に馴染みのある方は、第1章から読んで問題ありません。

また、このページでは代数学や幾何学の例を「知ってる人向け」に出すことがあります。「知ってる人向け」なので詳しい説明は書いてありません。こういう例は、もし知らなければ読み飛ばしてもらって構いません。

コメント

匿名 | 2016年9月 4日 12:38

圏論第0章の普遍性ですがPDF版18Pの上から3行目「k∘p=k∘q」は「p∘k=q∘k」になるのではないでしょうか.

管理人 | 2016年9月 4日 21:49

ありがとうございます。直しました。

匿名 | 2018年3月21日 01:23

limit.pdf について, 4ページ第1行の「Δf◦π」は「π◦Δf」になるのではないでしょうか.

管理人 | 2018年3月23日 01:13

その通りですね。後日直します

匿名 | 2018年3月25日 02:39

limit.pdf について, 4ページ下から2行目の「|_| _{f∈Mor(J)} T(cod f) → |_| _{j∈Ob(J)} Tj」は「|_| _{f∈Mor(J)} T(dom f) → |_| _{j∈Ob(J)} Tj」になるのではないでしょうか.

匿名 | 2018年3月29日 00:29

limit.pdfについて, 7ページの一番下の図式の「T(i2,j0)」は「T(j2,j1)」になるのではないでしょうか.

管理人 | 2018年4月 3日 02:28

ありがとうございます。直しました。

(名無し) | 2018年5月 8日 10:09

dual.pdfについて、命題11の証明で、射g,hの取り方はf・g=f・hではないでしょうか.

管理人 | 2018年5月10日 02:41

ありがとうございます。直しました。

g | 2018年5月26日 16:51

米田の補題の定理6についてですが、ψ⚪︎φ=idを既に示しているので、そちらを使った方が良いのではないでしょうか。

管理人 | 2018年6月22日 23:13

遅くなりすみません。
よく分からないのですがψの自然性を示す方が簡単という事ですか?

(名無し) | 2018年7月 9日 13:07

普遍性の説明の例1のh(a)=(p0(a),p0(a))とあるところですが正しくはh(a)=(p0(a),p1(a))ではないでしょうか。

管理人 | 2018年7月15日 04:36

ありがとうございます。直します。

(名無し) | 2018年8月21日 17:24

limit.pdfの2ページ目、例 2について
⟨a, b⟩ ∈ C × C から ∆ への普遍射⟨f, g⟩: ⟨a, b⟩ → ∆c が存在したとする.
ではなく
C × C の射⟨f, g⟩: ⟨a, b⟩ → ∆c が存在したとする.
ではないでしょうか

管理人 | 2018年8月21日 20:48

そこは普遍射であっています(普遍射<c, <f, g>>を単に<f, g>と略記しています)(普遍射でなければ後の話が合いません)

(名無し) | 2018年9月17日 16:48

随伴関手のpdf 2ページ目で、
「同様のことが次の図式にも成り立つ.」
の図式に出てくる射gは、同ページ1ページ目で定義した射gと一致しますか?

管理人 | 2018年9月18日 01:04

関係ないです。

匿名 | 2018年10月 5日 14:14

「圏論とは何か」p.8真ん中あたりの「\(x,y\in{}C\)に対して」は「\(x,y\in{}O(C)\)に対して」ではないでしょうか

KEN | 2018年12月16日 07:08

はじめまして。こちらの説明文と図より、X = 77777, Y= 12345
の数をあてはめ、
X=77777 の2進数 10010111111010001 17ビット
Y=12345 の2進数 00011000000111001 17ビット

上記の2進数の ビットごとの排他的論理和演算 を行った結果
10001111111101000 2進数 17ビット が求まり、
X ⊔ Y = 73704 という値が出ました。
同時に、
k1 = 2進数 10010111111010001 17ビット
k2 = 2進数 00011000000111001 17ビット
も定まり、
h = 10001111111101000 2進数 17ビット とおき、
h○κ1=f、h○κ2=g
○ の中の符号は両式ともに プラス符号 + を当てはめ
論理和演算を行なっていきます。

h + k1 = f の論理和演算式
10001111111101000
10010111111010001
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
10011111111111001

h + k2 = g の論理和演算式
10001111111101000
00011000000111001
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
10011111111111001

両式 論理和演算結果が一致したので、これを10進数に変換
してあげれば Z の値が求まります。
10011111111111001 ➡︎ 81913

よって、 Z = 81913 となり、

以上が理論的に導きだされた、壱大整域 ホームページさま
管理人さま への ご報告とさせて頂き、失礼致します。

つきまして、皆さまへお詫びさせて頂きます。
なにぶん、数学に知識が無いものが圏論に手を出してしまい、
大変申し訳ない思いです。コンピューターの専門学校に通っていたもので、
すみませんでした。何かにお役立てください。

圏論ではこの図を、
* X、Y が与えられたとき、
* 特別な X ⊔ Y と、κ1、κ2 がとれる。
* どう特別かというと、ほかに Z とf、g というものが現れたとき、
* 図を可換にする (h○κ1=f、h○κ2=g)ようなh がただ1 つ定まる

匿名 | 2019年1月18日 02:55

kan_extension.pdfのp7において、
「特に F^{-1} ┤F^‡: \hat{C} → \hat{D}である.」とありますが、
正しくはCとDが逆になるのではないでしょうか。

管理人 | 2019年1月19日 22:53

確かに……ありがとうございます

匿名 | 2019年2月10日 23:36

enrich.pdfのp64のエンドの定義について、
BEnri等での定義に比べて条件が真に弱いので
例79の一番上の同型が一般には成り立たないです。

(名無し) | 2019年3月 3日 18:56

今のendの定義だとenrich.pdfの命題58も一般には成り立たないです(何度もすみません)。

管理人 | 2019年3月13日 18:43

ありがとうございます。確認してみます。

(名無し) | 2019年7月22日 22:07

PDF「コンマ圏」2 ページ目、例 5、3 段落目、2 行目の最初なのですが、「f : * -> Pc」という部分があります。この段落の 1 行目に「1(*):=1」とあるので、「f * 1 -> Pc」が正しいのではないかと考えたので、質問させていだたきます。

管理人 | 2019年7月22日 22:37

f: 1→Pc が正しいですね。ありがとうございます。

管理人 | 2019年11月29日 00:56

上で指摘のあったエンドの話を全面的に直したので多分正しくなったと思います

(名無し) | 2019年12月11日 22:47

1.4極限のpdf、6ページ目の一つ目の四角の中です。

一文目「f: j→k を J の射とする.」ではないかと思います。
またこれ以降、最初に ν と書いていたものが i に変わってると思います。

(名無し) | 2019年12月11日 22:49

↑ 古いバージョンを見ていました。i の方は修正されていました」、申し訳ありません。

(名無し) | 2019年12月15日 21:43

↑ 何度もごめんなさい。同じページの2つ目の四角の中がまだ i になっています。

(名無し) | 2020年1月 5日 18:57

PDFを読ませていただいております。ありがとうございます。
細かいことですが、第1章「極限」の9ページ目の四角の中で、p, h, k が混同されていると思います。

(名無し) | 2020年8月19日 23:16

kan_extension.pdfのp21の2行目左辺で、Set^Cでの射集合をとっていますが、Set^Dでの射集合ではないでしょうか。

(名無し) | 2021年2月22日 17:23

第0章の
位相空間が同型⇒基本群が同型
と書かれていますが位相空間に対して同型という概念を入れる意味があるのでしょうか?
個人的には位相空間が同相⇒基本群は同型な気がします.

(名無し) | 2021年3月 2日 16:10

圏論第0章の「集合と写像のなす圏」という例で
射の合成g〇fのgについて何も記述されていないのですが
gはYからZへの写像gで,dom(g):=Y cod(g):=Zと定めているのでしょうか?

(名無し) | 2021年4月16日 10:21

スライス圏の定義で2番目の条件は正しいでしょうか?

管理人 | 2021年4月16日 19:57

スライス圏の定義は正しいと思います。

(名無し) | 2021年4月19日 23:10

圏Cの対象がa,b,xの三つ。射が恒等射が三つf,f`:a→x,
g,g`:b→x,h:a→bの計8本合成をf=gh,f`=g`hと定めた圏Cに対しスライス圏C/xを考える。
この時C/xの対象はf,f`,g,g`の四つ。hはfからg,f`からg`への射なのでf=dom(h)=f`となりまずい気がするのですが

(名無し) | 2021年4月20日 01:14

圏論とは何かのpdf8ページに|Hom(a,b)|=1とありましたが|Hom|の意味はなんでしょうか?

管理人 | 2021年4月21日 21:45

>スライス圏
なるほど。
その場合、普通はh: f→g とh: f'→g' は区別して異なる射と考えると思います。
(厳密にやるならスライス圏の射の定義を3つ組にするなど。)

> |Hom(a, b)|=1
|X|は集合Xの濃度を表す記号です。

(名無し) | 2021年4月22日 01:33

管理人さん、有限集合Aの元の数の書き方は|A|か#Aですが圏論では管理人さんの||を採用しているのですね

管理人 | 2021年4月22日 22:32

#を使うか | | を使うかは好みの問題で、人によります。圏論は関係ないです。

(名無し) | 2021年4月23日 14:37

管理人さん、回答ありがとうございます。

(名無し) | 2021年4月24日 17:54

随伴かんしゅのpdfの可換図でq◦-と書いてますがqではないでしょうか?

(名無し) | 2021年5月10日 03:37

full subcategory の定義ですが任意のa,bはCの対象ですか?

管理人 | 2021年5月10日 09:56

>随伴関手の可換図式
どこのことか分からなかったので教えてもらえると助かります。

>full subcategoryの定義
Cの対象です

(名無し) | 2021年5月10日 19:09

圏の構成例のPdfですが部分圏の定義はCの射においてのドメイン、コドメインがDの射においてのドメイン、コドメインと一致と書くべきではないでしょうか?

管理人 | 2021年5月10日 22:54

>ドメイン、コドメイン
現在既にそのように書いているつもりですが、別の解釈に仕方が可能ですか?

(名無し) | 2021年5月11日 11:19

ただドメイン,コドメインと書かれてもCのなにに対してのものかわかりにくかったので指摘させていただきました.

(名無し) | 2021年5月11日 16:06

管理人さん,遅れました.随伴関手のpdfになります.最初のほうの可換図式になります.

(名無し) | 2021年5月11日 16:06

管理人さん,遅れました.随伴関手のpdfになります.最初のほうの可換図式になります.

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