2016年05月21日更新

このページについて

このページは圏論について解説することを目的としたページです。2013年くらいから、私が勉強したことを順次まとめて公開しています。

元々圏論についてはそれ以前から知っていましたが、「言葉として非常に便利なもの」という認識でした(参考: 圏論とは何か – はじまりはKan拡張)。ところがある日、ある人に圏論を教えてもらい、圏論はそれ自体が非常に面白いものだということが分かりました。それを紹介し、圏論の面白さを知ってもらうことがこのページの目的です。

特にKan拡張と呼ばれるものについては「全ての概念はKan拡張である」という言葉が生まれるほど様々なことが知られており、圏論が面白い点の一つだと感じています。そこでこのページではKan拡張に重点を置いた記述をしていて、特に第2章がメインコンテンツとなります。ただ、Kan拡張を学ぶにはいくつか必要な知識がある為、それを第1章という形で説明しています。第0章は圏論を全く知らない人向けの説明となるので、普段の数学で圏論に馴染みのある方は、第1章から読んで問題ありません。

また、このページでは代数学や幾何学の例を「知ってる人向け」に出すことがあります。「知ってる人向け」なので詳しい説明は書いてありません。こういう例は、もし知らなければ読み飛ばしてもらって構いません。

コメント

匿名 | 2016年9月 4日 12:38

圏論第0章の普遍性ですがPDF版18Pの上から3行目「k∘p=k∘q」は「p∘k=q∘k」になるのではないでしょうか.

管理人 | 2016年9月 4日 21:49

ありがとうございます。直しました。

匿名 | 2018年3月21日 01:23

limit.pdf について, 4ページ第1行の「Δf◦π」は「π◦Δf」になるのではないでしょうか.

管理人 | 2018年3月23日 01:13

その通りですね。後日直します

匿名 | 2018年3月25日 02:39

limit.pdf について, 4ページ下から2行目の「|_| _{f∈Mor(J)} T(cod f) → |_| _{j∈Ob(J)} Tj」は「|_| _{f∈Mor(J)} T(dom f) → |_| _{j∈Ob(J)} Tj」になるのではないでしょうか.

匿名 | 2018年3月29日 00:29

limit.pdfについて, 7ページの一番下の図式の「T(i2,j0)」は「T(j2,j1)」になるのではないでしょうか.

管理人 | 2018年4月 3日 02:28

ありがとうございます。直しました。

(名無し) | 2018年5月 8日 10:09

dual.pdfについて、命題11の証明で、射g,hの取り方はf・g=f・hではないでしょうか.

管理人 | 2018年5月10日 02:41

ありがとうございます。直しました。

g | 2018年5月26日 16:51

米田の補題の定理6についてですが、ψ⚪︎φ=idを既に示しているので、そちらを使った方が良いのではないでしょうか。

管理人 | 2018年6月22日 23:13

遅くなりすみません。
よく分からないのですがψの自然性を示す方が簡単という事ですか?

(名無し) | 2018年7月 9日 13:07

普遍性の説明の例1のh(a)=(p0(a),p0(a))とあるところですが正しくはh(a)=(p0(a),p1(a))ではないでしょうか。

管理人 | 2018年7月15日 04:36

ありがとうございます。直します。

(名無し) | 2018年8月21日 17:24

limit.pdfの2ページ目、例 2について
⟨a, b⟩ ∈ C × C から ∆ への普遍射⟨f, g⟩: ⟨a, b⟩ → ∆c が存在したとする.
ではなく
C × C の射⟨f, g⟩: ⟨a, b⟩ → ∆c が存在したとする.
ではないでしょうか

管理人 | 2018年8月21日 20:48

そこは普遍射であっています(普遍射<c, <f, g>>を単に<f, g>と略記しています)(普遍射でなければ後の話が合いません)

(名無し) | 2018年9月17日 16:48

随伴関手のpdf 2ページ目で、
「同様のことが次の図式にも成り立つ.」
の図式に出てくる射gは、同ページ1ページ目で定義した射gと一致しますか?

管理人 | 2018年9月18日 01:04

関係ないです。

匿名 | 2018年10月 5日 14:14

「圏論とは何か」p.8真ん中あたりの「\(x,y\in{}C\)に対して」は「\(x,y\in{}O(C)\)に対して」ではないでしょうか

KEN | 2018年12月16日 07:08

はじめまして。こちらの説明文と図より、X = 77777, Y= 12345
の数をあてはめ、
X=77777 の2進数 10010111111010001 17ビット
Y=12345 の2進数 00011000000111001 17ビット

上記の2進数の ビットごとの排他的論理和演算 を行った結果
10001111111101000 2進数 17ビット が求まり、
X ⊔ Y = 73704 という値が出ました。
同時に、
k1 = 2進数 10010111111010001 17ビット
k2 = 2進数 00011000000111001 17ビット
も定まり、
h = 10001111111101000 2進数 17ビット とおき、
h○κ1=f、h○κ2=g
○ の中の符号は両式ともに プラス符号 + を当てはめ
論理和演算を行なっていきます。

h + k1 = f の論理和演算式
10001111111101000
10010111111010001
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
10011111111111001

h + k2 = g の論理和演算式
10001111111101000
00011000000111001
 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄
10011111111111001

両式 論理和演算結果が一致したので、これを10進数に変換
してあげれば Z の値が求まります。
10011111111111001 ➡︎ 81913

よって、 Z = 81913 となり、

以上が理論的に導きだされた、壱大整域 ホームページさま
管理人さま への ご報告とさせて頂き、失礼致します。

つきまして、皆さまへお詫びさせて頂きます。
なにぶん、数学に知識が無いものが圏論に手を出してしまい、
大変申し訳ない思いです。コンピューターの専門学校に通っていたもので、
すみませんでした。何かにお役立てください。

圏論ではこの図を、
* X、Y が与えられたとき、
* 特別な X ⊔ Y と、κ1、κ2 がとれる。
* どう特別かというと、ほかに Z とf、g というものが現れたとき、
* 図を可換にする (h○κ1=f、h○κ2=g)ようなh がただ1 つ定まる

匿名 | 2019年1月18日 02:55

kan_extension.pdfのp7において、
「特に F^{-1} ┤F^‡: \hat{C} → \hat{D}である.」とありますが、
正しくはCとDが逆になるのではないでしょうか。

管理人 | 2019年1月19日 22:53

確かに……ありがとうございます

匿名 | 2019年2月10日 23:36

enrich.pdfのp64のエンドの定義について、
BEnri等での定義に比べて条件が真に弱いので
例79の一番上の同型が一般には成り立たないです。

(名無し) | 2019年3月 3日 18:56

今のendの定義だとenrich.pdfの命題58も一般には成り立たないです(何度もすみません)。

管理人 | 2019年3月13日 18:43

ありがとうございます。確認してみます。

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