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選択公理は直感に反さないだろいい加減にしろ!

選択公理についてググると以下のようなページがヒットするわけですが、この説明は良くないと思うのでここで少し説明を書いておこうと思います。

選択公理 - Wikipediaより

この公理を認めると、一つの球を有限個に分割してそれぞれを集めて元の球と同じ体積の球を二つ作ることができるという、常識では考えられないことが起こる(バナッハ=タルスキーのパラドックス)。従って、この公理の妥当性に疑問を持つ数学者もいる。しかし、この公理を用いないと、証明できない事柄が多くでてきてしまう。

選択公理: 役に立たない数学用語事典より

これに関してはさまざまな解釈、打開策が考えられたが、実は現在も誰もが納得するすっきりとした結論が出ているわけではない。選択公理はいまなお現代数学ののどの奥に小骨のように突き刺さっている。

選択公理でググってこういう説明がすぐ見つかるの、ヤバイと思うんですよね。選択公理の妥当性に疑問を持っているような数学者はいないと思うし(居たらごめんなさい)、選択公理は認めるべきというのが誰もが納得するすっきりとした結論だと思います。Banach-Tarskiについては後述。

まず、選択公理とは「 { Xλ }λ∈Λを空でない集合からなる族とすれば、直積 Πλ∈ΛXλも空でない」という主張でした。これが成り立つのは直感的には明らかだし、逆に言えばこれが成り立たないなんてのは(Banach-Tarskiなんかよりもよっぽど)直感に反していると思います。

選択公理を認めなければならないのは、普通に数学をやっている中で普通に現れるからです。一番有名と思われるのは「無限集合 X は可算無限部分集合を含む」の証明でしょう。この証明は以下の通りです。

まず a0∈X を取ります。X は無限だから X\{ a0 } は空ではありません。よって a1∈X\{ a0 } が取れます。 X\{ a0, a1 } も空でないから a2∈X\{ a0, a1 } が取れます。これを繰り返していけば可算無限集合 { a0, a1, a2, a3, … }⊂X が得られます。

この証明は実は選択公理を使っています。それは元 an∈X\{ a0, …, an-1 } を取るという操作を無限回行わなければならないからです。そして、「この命題は選択公理なしでは証明できないこと」が証明されています。こういうような操作は数学の様々なところで行われています。例えば関数解析なんかだと「各n∈Nについて~~~を満たす xn∈X を取れば、これはCauchy列をなすから極限 x が存在し、……」なんてことを何度もやりますが、この xn∈X を取るというのは選択公理を使っています。(選択公理を使わずに取れる場合もあります。)

これ以外にも、証明に選択公理が要る命題はたくさん知られていて、それはこのサイトの選択公理のページにも書いてあるとおりです。例えば線型空間の基底の存在、体の代数閉包の存在、コホモロジーの性質、Hahn-Banachの定理、等々…。

さて、選択公理が直感に反すると言われるのは何故かといえば、既に引用したようにBanach-Tarskiが原因でしょう。これは、そもそも定理を「一つの球を有限個に分割してそれぞれを集めて元の球と同じ体積の球を二つ作ることができる」という風に「日本語で」そのまま解釈するのが間違いでしょう。

例えば、|N| = |Q| であることを「自然数の個数と有理数の個数は同じ」と表現することがありますが、これを見て「自然数は有理数で、自然数でない有理数があるんだからこれはおかしい! 直感に反する!」と言う人は居ないでしょう。それは「個数が同じ」というのは「全単射が存在する」という意味だと分かっているからです。Banach-Tarskiの場合も同じです。

「一つの球を有限個に分割して」とありますが、これは正確に述べると、B = { (x, y, z)∈R3 | x^2+y^2+z^2≦1 } を球体としたときに B = X0∪X1∪…∪Xn (i≠jならば Xi∩Xj= ∅) と書けるということです。これは集合として「有限個に分割できる」ということです。例えば X0 を有理数全体、 X1 を無理数全体とすれば R = X0∪X1、X0∩X1= ∅ です。つまり、この分割はBanach-Tarskiが言っている「有限個に分割」の条件を満たしているのです。しかし、物理的にこれを「有限個の分割」というでしょうか? Banach-Tarskiでは球体をこれよりももっとヤバイ方法で分割しているので、そりゃ球体が増えるくらい起こりえるわけです。

ところで、Banach-Tarskiの証明はそれなりの長さがありますが、その内容は殆ど「群」や「群が作用している集合」についての議論であって、選択公理は関係ありません。そして選択公理を使うのは「商集合の代表系」を一回とるだけです。つまり、実はBanach-Tarskiは選択公理とはあまり関係がないのです。証明を見ると分かりますが、Banach-Tarskiはどちらかというと自由群 F2 の性質から来ているような感じがします。

所で

選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理というものも考えられている。これは選択公理の成立する範囲を可算濃度以下に限定したものだ。この公理を採用すると非常に都合がよい。「選択公理がないと証明ができない」とされる正当な定理のほとんどは、可算選択公理で証明される。「選択公理を用いると証明できるが、感覚的に奇妙である」とされる変な定理の多数(全てではない)は、可算選択公理では証明されない。結局、選択公理のかわりに可算選択公理を採用すると、非常に自然な(納得の行く)数学体系ができる。

というようなことが書かれていますが、「選択公理がないと証明ができない」とされる正当な定理のほとんどは、可算選択公理では証明できないが正しいと思われます。実際、このサイトに載っている「選択公理と同値な命題」は勿論可算選択公理では証明できないからです。また、「可算無限まで認めるなら任意の無限でも認めていいでしょ」という感じがします。

ちなみに、Hahn-Banachを認めるとBanach-Tarskiが証明できますので、どっちにしろBanach-Tarskiについては諦めてください。

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コメント

  1. ponta | 2013年5月12日 22:37

    > 「選択公理がないと証明ができない」とされる正当な定理のほとんどは、可算選択公理では証明できないが正しいと思われます。

     私は「可算選択公理で足りる」と思います。可算選択公理があれば、実数までの数学空間はすべて構築できます。選択公理がどうしても必要なのは、実数よりも1ランク上( 実数 R に対する 2^R の空間)だけです。そのような数(超限順序数)は、普通の数学空間には現れません。というか、実数で構築されたこの宇宙において、そのような高度な数はあふれてしまいますから、配置することが不可能です。このような数は、集合論の世界に現れるだけで、一般数学には現れません。そのことを理解してください。
     
      
     
    > 実際、このサイトに載っている「選択公理と同値な命題」は勿論可算選択公理では証明できないからです。(*)

     当り前でしょう。 2^R の空間における選択公理と同値の命題を、R までしか規定できない可算選択公理で証明できるはずがありません。
     上記の主張(*)は、「3次元の理論では、4次元の世界を説明できないから、4次元の理論としては成立しない」と述べているようなものです。まったくのお門違い。3次元の理論は、3次元の世界を説明することだけが目的であり、4次元の世界を説明することは要求されません。
     可算選択公理で証明できるのは、「実数までの範囲内におけること」だけです。2^R の空間における選択公理と同値の命題は、証明できません。そして、それこそが、可算選択公理の美点なのです。(余計なものを証明しない。余計なものを含まない。)
     
     
     
    > また、「可算無限まで認めるなら任意の無限でも認めていいでしょ」という感じがします。(**)

     それはつまり、「この世界は実数よりも1ランク上の数が存在し、2ランク、3ランク、4ランク上の数も存在する(必ず存在しなくてはならない)」と主張するのと同様です。
     しかしながら、2^R の数を、R の3次元の空間内で配置することは不可能です。かくて、(**)は破綻しました。
     比喩的に言うと、(**)の主張は、「この宇宙は3次元実数空間でなくて、3次元でも5次元でもいいだろう」というようなものです。しかしそのような高次元空間は、数学的には考えることができても、現実の宇宙には合致しません。それは我々の住んでいる宇宙とは別の宇宙の理論です。
     (**)もまた同じ。
     

  2. 管理人 | 2013年5月13日 00:23

    普通に数学をやっていれば実数よりも1ランク上の概念なんていくらでも出てくるし、そういうのがないと何もできないと思うのですが、それらは全て普通の数学ではないということでしょうか?

    また、実数空間を構成するのは可算選択公理も使わずに出来るのでそもそも選択公理は関係ないです。

  3. AC | 2013年5月13日 00:29

    選択公理って全射f: X --> B はセクションs: B--> X を持つ(つまりfsはアイデンティティ)ってことですよね?
    この双対の「単射はリトラクションを持つ」はなんでことさら問題にならないのでしょうか?

  4. ponta | 2013年5月13日 00:54

    > 普通に数学をやっていれば実数よりも1ランク上の概念なんていくらでも出てくるし、そういうのがないと何もできないと思うのですが、それらは全て普通の数学ではないということでしょうか?

    そうですね。「それらは全て普通の数学ではない」ということです。
    1ランク上の概念が出てくるのは、いろいろな分野があるとしても、それを真に必要とするのは、集合論だけでしょう。
    少なくともカントール以前の数学はすべて、実数までで十分です。ニュートンも群論も何もかも。また、現代の物理学で使われる数学のすべては、1ランク上の概念(超限順序数)を必要としません。(あれば使い道はあるけれど、それは「必要」とは違います。)

    たしかに、1ランク上の概念は現代数学でいっぱい出てきますが、それは、現実世界とは無縁の世界のことです。その議論のすべては、物理学には影響しません。ゼータ関数だって、素数は大きく関係するけれど、1ランク上の概念は不要です。

    集合論の世界でさえ、「超限順序数を使わない証明法」というのが有意義であると尊重されています。私なりに言えば、「超限順序数を使う証明法」というのは、将来的にはすべて無意味になってしまう(虚偽の上に成立する砂上の楼閣になってしまう)ので、「超限順序数を使わない証明法」だけが数学的に価値を持つようになるでしょう。


    > また、実数空間を構成するのは可算選択公理も使わずに出来るのでそもそも選択公理は関係ないです。

    何を言いたいのかわかりませんが、たぶん私の言っていることを誤解しているのでしょう。

    可算選択公理は、実数空間を構成するために使うのではなくて、実数空間のなかで特定の数学空間を構成するために使います。たとえばベクトル空間の基底。このようなことは、選択公理が必要だと言われていますが、可算選択公理だけで足りる、という趣旨です。

  5. 管理人 | 2013年5月13日 01:12

    >ACさん
    その辺はあまりよく分かりませんが、写像の単射と全射は(圏論的には双対になってるとはいえ)定義的には双対になってないあたりが違いを生んでいるように思います。


    >pontaさん
    私は「それらは全ても普通の数学である」と思っているだけの話ですね。「1ランク上の概念を真に必要とするのは、集合論だけ」とのことですが、微分幾何学、代数幾何学、関数解析学、整数論、あとなんでしょう、とにかくどこでも使うと思いますよ。

    あと RのQ上の基底を取るのは可算選択公理では無理だと思います。

    それと私は物理学については良く知りませんが、現代の物理学では1ランク上の概念を当たり前のように使っていると聞いています。(実際、物理学における選択公理、みたいな論文もあったと思います。)

  6. Rochch | 2013年5月14日 05:22

    世のなかには凄い世界観に生きる人が存在しますね…… 2^R が本質的に要らないとは。当人は審美性を強調されていましたが、数学徒にとってはあまりにも殺伐とした世界です。
    学部以後の数学にトラウマでも抱えているのでしょうか。議論上の虚偽を弄すことなく、学問に向き合って強く生きてほしいです。

  7. kagakuma | 2013年5月16日 07:15

    Wikipediaは編集しちゃえばいいと思うんだ。「選択公理に関してはこのような誤解がはびこっていたが、こういう理由でそんなことはないんだぜ」っていう
    。こういう例としては流体力学におけるベルヌーイの定理が航空力学をきちんと説明することなど(http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%99%E3%83%AB%E3%83%8C%E3%83%BC%E3%82%A4%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86 の「揚力とベルヌーイの定理」の箇所)

    ノートで議論がなされている場合については、かなり労力がかかるけど。

  8. 管理人 | 2013年5月18日 16:19

    いや、なんかWikipediaってめんどくさそうじゃないですか。知らないけど。

  9. 数学趣味人 | 2017年8月18日 18:24

    わかりやすい説明でよかったです。スッキリしました。

  10. りぶる | 2017年11月16日 01:12

    「単射はレトラクションを持つ」は偽ですね。
    なのに、どうして「全射はセクションを持つ」ことを認めねばならないのでしょう、なんて(笑)

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