algebraic dialy

最近2-categoryというのを調べていたのですが、パッと見面白そうなので勉強していた所どんどんつらみが出てきました。

圏であって、各Hom(X, Y)がまた圏になっているようなものを2-category(もしくはstrict 2-category)といいます。(例は圏の圏Cat。)ただし、射の合成から得られるHom(Y, Z)×Hom(X, Y)→Hom(X, Z)は関手になる、という条件もつけます。

これはこれでいいのですが、2-categoryは圏ですから、当然、射の合成は結合律を満たします。この結合律というのは言い換えれば，2通りの合成から得られる2つの関手Hom(Z, W)×Hom(Y, Z)×Hom(X, Y)→Hom(X, W) が一致するということです。しかし、関手が一致するという条件はかなり強いです。そこで、これを「関手が自然同型である」という条件に弱めることを考えることができます。そういうのをbicategory(もしくはweak 2-category)といいます。

ここで面白いのは、任意のbicategoryは2-categoryと「bicategoryの意味で同型」となるという定理があることです。

この証明は米田から得られます。つまり、まずbicategory Bに対してCat^Bopというのを考えます。実は、これは2-categoryとなります。そして米田埋込y: B→Cat^Bopを考えることができます。(ちなみに米田の補題のbicategoryバージョンが成り立ちます。)このときyの像(?)をC⊂Cat^Bopとすればこれも2-categoryでyが同型B→Cを与えるわけです。

この証明を追い始めてみたらつらすぎてつらいという近況報告