algebraic dialy(2013年5月)

選択公理についてググると以下のようなページがヒットするわけですが、この説明は良くないと思うのでここで少し説明を書いておこうと思います。

選択公理 - Wikipediaより

この公理を認めると、一つの球を有限個に分割してそれぞれを集めて元の球と同じ体積の球を二つ作ることができるという、常識では考えられないことが起こる（バナッハ＝タルスキーのパラドックス）。従って、この公理の妥当性に疑問を持つ数学者もいる。しかし、この公理を用いないと、証明できない事柄が多くでてきてしまう。

選択公理: 役に立たない数学用語事典より

これに関してはさまざまな解釈、打開策が考えられたが、実は現在も誰もが納得するすっきりとした結論が出ているわけではない。選択公理はいまなお現代数学ののどの奥に小骨のように突き刺さっている。

選択公理でググってこういう説明がすぐ見つかるの、ヤバイと思うんですよね。選択公理の妥当性に疑問を持っているような数学者はいないと思うし(居たらごめんなさい)、選択公理は認めるべきというのが誰もが納得するすっきりとした結論だと思います。Banach-Tarskiについては後述。

まず、選択公理とは「 { X_λ }_λ∈Λを空でない集合からなる族とすれば、直積 Π_λ∈ΛX_λも空でない」という主張でした。これが成り立つのは直感的には明らかだし、逆に言えばこれが成り立たないなんてのは(Banach-Tarskiなんかよりもよっぽど)直感に反していると思います。

選択公理を認めなければならないのは、普通に数学をやっている中で普通に現れるからです。一番有名と思われるのは「無限集合 X は可算無限部分集合を含む」の証明でしょう。この証明は以下の通りです。

まず a₀∈X を取ります。X は無限だから X＼{ a₀ } は空ではありません。よって a₁∈X＼{ a₀ } が取れます。 X＼{ a₀, a₁ } も空でないから a₂∈X＼{ a₀, a₁ } が取れます。これを繰り返していけば可算無限集合 { a₀, a₁, a₂, a₃, … }⊂X が得られます。

この証明は実は選択公理を使っています。それは元 a_n∈X＼{ a₀, …, a_n-1 } を取るという操作を無限回行わなければならないからです。そして、「この命題は選択公理なしでは証明できないこと」が証明されています。こういうような操作は数学の様々なところで行われています。例えば関数解析なんかだと「各n∈Nについて～～～を満たす x_n∈X を取れば、これはCauchy列をなすから極限 x が存在し、……」なんてことを何度もやりますが、この x_n∈X を取るというのは選択公理を使っています。(選択公理を使わずに取れる場合もあります。)

これ以外にも、証明に選択公理が要る命題はたくさん知られていて、それはこのサイトの選択公理のページにも書いてあるとおりです。例えば線型空間の基底の存在、体の代数閉包の存在、コホモロジーの性質、Hahn-Banachの定理、等々…。

さて、選択公理が直感に反すると言われるのは何故かといえば、既に引用したようにBanach-Tarskiが原因でしょう。これは、そもそも定理を「一つの球を有限個に分割してそれぞれを集めて元の球と同じ体積の球を二つ作ることができる」という風に「日本語で」そのまま解釈するのが間違いでしょう。

例えば、|N| = |Q| であることを「自然数の個数と有理数の個数は同じ」と表現することがありますが、これを見て「自然数は有理数で、自然数でない有理数があるんだからこれはおかしい! 直感に反する!」と言う人は居ないでしょう。それは「個数が同じ」というのは「全単射が存在する」という意味だと分かっているからです。Banach-Tarskiの場合も同じです。

「一つの球を有限個に分割して」とありますが、これは正確に述べると、B = { (x, y, z)∈R³ | x^2+y^2+z^2≦1 } を球体としたときに B = X₀∪X₁∪…∪X_n (i≠jならば X_i∩X_j= ∅) と書けるということです。これは集合として「有限個に分割できる」ということです。例えば X₀ を有理数全体、 X₁ を無理数全体とすれば R = X₀∪X₁、X₀∩X₁= ∅ です。つまり、この分割はBanach-Tarskiが言っている「有限個に分割」の条件を満たしているのです。しかし、物理的にこれを「有限個の分割」というでしょうか? Banach-Tarskiでは球体をこれよりももっとヤバイ方法で分割しているので、そりゃ球体が増えるくらい起こりえるわけです。

ところで、Banach-Tarskiの証明はそれなりの長さがありますが、その内容は殆ど「群」や「群が作用している集合」についての議論であって、選択公理は関係ありません。そして選択公理を使うのは「商集合の代表系」を一回とるだけです。つまり、実はBanach-Tarskiは選択公理とはあまり関係がないのです。証明を見ると分かりますが、Banach-Tarskiはどちらかというと自由群 F₂ の性質から来ているような感じがします。

所で

選択公理よりも弱い公理として、可算選択公理というものも考えられている。これは選択公理の成立する範囲を可算濃度以下に限定したものだ。この公理を採用すると非常に都合がよい。「選択公理がないと証明ができない」とされる正当な定理のほとんどは、可算選択公理で証明される。「選択公理を用いると証明できるが、感覚的に奇妙である」とされる変な定理の多数（全てではない）は、可算選択公理では証明されない。結局、選択公理のかわりに可算選択公理を採用すると、非常に自然な（納得の行く）数学体系ができる。

というようなことが書かれていますが、「選択公理がないと証明ができない」とされる正当な定理のほとんどは、可算選択公理では証明できないが正しいと思われます。実際、このサイトに載っている「選択公理と同値な命題」は勿論可算選択公理では証明できないからです。また、「可算無限まで認めるなら任意の無限でも認めていいでしょ」という感じがします。

ちなみに、Hahn-Banachを認めるとBanach-Tarskiが証明できますので、どっちにしろBanach-Tarskiについては諦めてください。