表示形式
※PDFと動画の内容は綺麗には対応していません。順番もバラバラなので、動画を中心に見る場合は上述の再生リストをオススメします。
※PDFと動画の内容は綺麗には対応していません。順番もバラバラなので、動画を中心に見る場合は上述の再生リストをオススメします。
第0章 圏論入門
圏論を全く知らない人向けの解説です。圏論に馴染みのある方は飛ばしてもらって大丈夫です。
-
圏論とは何か(2025-08-17更新、2025-08-26微修正)本当に何も知らない人向け。圏の定義と例を使って，圏論がどういうものなのかを紹介します。
-
圏の構成例(2025-08-17更新、2025-08-27修正)与えられた圏から新たな圏を構成する方法(直積・直和・スライス圏・コスライス圏・部分圏)を紹介します。(動画なし)
-
普遍性(2025-08-27修正)圏論で重要な考え方の1つ「普遍性」について説明します。
-
例: 位相空間上の層(2021-04-02修正、2025-08-26微修正)圏論に慣れるための具体例の1つとして，層を取りあげてみます。興味が無ければ飛ばして大丈夫です。(動画なし)
-
双対(2025-01-19微修正)双対の例について説明します。極限・余極限やモノ射・エピ射など。(動画なし)
-
自然変換・圏同値(2025-01-12更新、2025-08-26微修正)2つの圏が「同じ」であることを意味する「圏同値」について説明します。
-
例: 基本亜群(2025-08-17修正)圏論に慣れるための具体例の1つとして，「圏論とは何か」で出てきた基本群をもう少し詳しく説明します。興味が無ければ飛ばして大丈夫です。
第1章 圏論
第2章を読むに当たって、必要な基本的事項を説明します。
-
自然変換・関手圏(2025-08-16更新、2025-08-26微修正)自然変換の合成について説明します。
-
米田の補題(2023-08-20更新、2025-08-27修正)米田の補題について説明します。
-
コンマ圏(2025-05-19修正、2025-08-17微修正)圏の構成法の中で最も重要なコンマ圏を説明します。
-
極限(2025-08-17更新、2025-08-27微修正)より一般の極限・余極限と、表現可能関手について説明します。
-
随伴関手(2025-08-17更新、2025-08-27微修正)随伴関手について説明します。
第2章 全ての概念はKan拡張である
-
Kan拡張(2025-08-23修正、2025-08-27微修正)Kan拡張の基本的事項と普遍随伴について。
-
例: 単体的集合(2025-08-17修正、2025-09-05微修正)普遍随伴の例として単体的集合を扱います。∞圏(quasi-category)の定義を理解するのが目的です。
-
随伴関手定理(2025-05-18更新、2025-08-27微修正)解集合条件とは各点Kan拡張するための条件である。
-
例: 位相空間上の層 その2(2025-10-24更新)普遍随伴の例として層を取りあげます。第0章のその1も参照。
-
圏の「対数」(2021-04-02更新、2025-08-27微修正)随伴がなす圏と「対数」について。(動画なし)
-
フィルター圏(2025-05-19修正、2025-08-27微修正)フィルター圏、sifted categoryについて。
-
エンド(2025-01-06修正、2025-08-26微修正)圏における「積分」について。
-
余米田の補題(2024-01-02微修正)米田の補題は右Kan拡張である。よって左Kan拡張バージョンを考えることで余米田が得られる。
-
ココンマ圏とprofunctor(2025-01-31更新、2025-05-19修正)ココンマ圏の構成方法について説明します。
-
Isbell双対(2020-07-18追加、2025-08-27微修正)Isbell双対について説明します。
第3章 高次元圏
より一般化された圏論について。
-
2-category(2022-11-09更新、2025-09-29修正)2-categoryの定義と米田について。加えて2-categoryでの図式の取り扱いとKan拡張・随伴の定義。
-
豊穣圏(2024-11-10更新、2025-08-31微修正)豊穣圏においても全ての概念はKan拡張である。
-
例: Mitchellの埋込定理(2022-08-28更新、2022-08-29修正)豊穣圏の例としてアーベル圏を扱い、小アーベル圏はR加群の圏に埋め込めることを示します。
-
Cauchy完備化(2025-09-18更新)豊穣圏のCauchy完備化とprofunctorについて。
-
2-categoryでの極限(2025-04-20更新、2025-08-31微修正)strict 2-categoryにおける極限・余極限について。コンマ対象など。
-
bicategoryでの極限(2025-04-21更新、2025-09-10微修正)bicategoryにおける極限・余極限について。(動画なし)
-
comma bicategory(2025-08-31追加、2025-09-12微修正)様々なcomma bicategoryを定義します。(動画なし)
-
2-categoryでの随伴・Kan拡張・忠実充満(2025-09-10更新)2-categoryにおける色々な定理について。(動画なし)
-
モナドは単なる1から2-categoryへのlax 2-functorだよ。何か問題でも?
-
fibration(2025-09-25更新、2025-10-01修正)圏のfibrationとstrict 2-categoryの中でのfibrationについて。
-
コンマ対象による各点Kan拡張(2025-09-10更新)一般の2-categoryでもコンマ対象を使って各点Kan拡張が定義できるが…?
-
米田構造(2025-09-10更新)各点Kan拡張を定義するための米田構造について。(動画なし)
-
pseudo double category(2022-06-05追加)double categoryを使った各点Kan拡張(動画なし)
-
モデル圏(2019-03-24更新)導来関手の定義まで
-
3-category(2017-07-31追加、2018-08-29微修正)tricategoryの定義のみ(読む意味無し)
第4章 トポス
-
トポス(2018-05-05追加)トポスの定義と、前層の圏がトポスになることについて。
-
local set theory(2025-08-03追加、2025-08-06修正)local set theoryを使って圏論と論理の関係について解説します。
第?章 ???
-
双積・弱完全圏(2021-09-18更新、2023-12-28微修正)いわゆる蛇の補題を証明します。
-
Hilbert空間がなす圏の特徴付け(2025-07-13追加)ダガー圏や双積を使ってHilbert空間がなす圏を特徴付けます。
-
選択公理なしの圏論(2022-05-23追加)選択公理を仮定せずに第1章程度の内容を説明します。
その他
-
自然変換の定義について(2021-04-15更新、2025-05-19修正)自然変換の定義に出てくる可換図式は一体なんなのか?
-
「全ての概念はKan拡張である」の元ネタについて紹介します。
-
(動画なし)
-
(動画なし)
-
(動画なし)
-
随伴の列とSet(2020-02-20追加、2021-05-07微修正)圏Cの米田埋込yが随伴の列 U -| V -| W -| X -| y を持つときCはSetと圏同値。(動画なし)
-
豊穣圏(モノイダル圏が対称でも閉でもない場合)(2020-05-07追加、2023-12-24微修正)Vが対称でも閉でもない場合のV-豊穣圏について。(動画なし)
-
標準的でない自然同型について(2020-05-17追加)「標準的に得られる射が同型」という条件における「標準的」が不要な場合がある。(動画なし)
-
lax yoneda(2022-05-17追加、2022-05-25微修正)「laxバージョン」の米田の補題について。(動画なし)
-
SetSetは局所小ではない(2025-01-13追加)SetSetが局所小でないことの証明。(動画なし)
-
MacLaneの余米田の補題(2025-01-31追加、2025-08-31修正)『圏論の基礎』に載っている形の「余米田の補題」の証明。
-
モノイド対象の表現(2025-06-29追加)豊穣圏論を使うことでモノイドの圏と表現の圏の間の随伴を構成することができます(いわゆる淡中双対?)。
-
TikZの使い方について。(動画なし)
-
TikZの使い方(2025-08-24更新)上記TikZのより詳細な使い方について。圏論に限らず広く使える内容になってます。
