定理 集合族が 「任意のλ∈Λに対し |X_λ|≧2 」を満たすとき， ある集合族{F_λ}_λ∈Λが存在して 「任意のλ∈Λに対して F_λ⊂X_λかつ|F_λ|は奇数」である．(これをOACと呼ぶ)
⇔ G をアーベル群で G の任意の元の位数が 2 以下であるとする． このとき部分群 H⊂G に対して G/H の完全代表系が存在する．

証明(⇒) OAC を G/H に適応して集合族 { F_C }_C∈G/H を得る． このとき，|F_C|が奇数であることから g_C := Σ_x∈FC x ∈ C が分かる． 故に { g_C | C∈G/H } が完全代表系である．

(←) が「任意のλ∈Λに対し |X_λ|≧2 」を満たすする．これらは互いに素としてよい．V_λをX_λで生成される二元体 F₂ 上の線型空間とする．即ち

V_λ = { Σ_x∈Xλα_x x | α_x∈F₂，有限個を除いてα_x=0 }

である．V := ⊕_λ∈Λ V_λ とする． 勿論 V は加法によりアーベル群で，任意の元の位数が 2 以下である． 任意の元 v∈V は v=Σ_λ∈Λ(Σ_x∈Xλα_{λ, x}^(v) x)と一意に書ける．

H := { v∈V | 任意のλ∈Λに対してΣ_x∈Xλα_{λ, x}^(v) = 0 }

と置くと H⊂V は部分群である．μ∈Λに対して

G_μ := { v∈V | Σ_{x∈ Xμ}α_{μ, x}^(v)=1, 任意のλ≠μに対してΣ_{x∈ Xλ}α_{λ, x}^(v) = 0 }

とすれば G_μ∈V/H となる． 仮定により完全代表系 P を取ることができる． P∩G_μ = { g_μ } と書く．このとき F_λ := { x∈X_λ | β_{λ, x}^(g_μ)=1 }⊂X_λ と置けば明らかに |F_λ| は奇数である．

the Axiom of Multiple ChoiceによればOACは選択公理と同値であるから，次の系が分かる．

系 以下の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. G をアーベル群で G の任意の元の位数が 2 以下であるとする．このとき部分群 H⊂G に対して G/H の完全代表系が存在する．
3. G をアーベル群，H を部分群とすれば，G/H の完全代表系が存在する．

OACと選択公理が同値であることは基礎の公理を使っているから，この系の 2⇒1 と 3⇒1 には基礎の公理が使われていることになる．実は，3⇒1 は基礎の公理を使わずに証明できるのでその証明を書いておく．

証明選択公理と同値な次の命題を示す．

集合族が「任意のλ∈Λに対し |X_λ|≧2 」を満たすとき， Λ上の関数 f が存在して任意のλ∈Λに対して ∅ ≠f(λ) ⊊ X_λかつ|f(λ)|<∞ となる．

同値性の証明はthe Axiom of Multiple Choiceの定理2を参照．

を |X_λ|≧2 を満たす族とする．これらは互いに素としてよい． V_λ を X_λ で生成されるアーベル群とする．即ち

V_λ = { Σ_x∈Xλα_x x | α_x∈Z，有限個を除いてα_x=0 }

である．V := ⊕_λ∈Λ V_λとする． 任意の元 v∈V は v=Σ_λ∈Λ(Σ_x∈Xλα_{λ, x}^(v)x)と一意に書ける．

H := { v∈V | 任意のλ∈Λに対してΣ_x∈Xλα_{λ, x}^(v)=0 }

と置くと H⊂V は部分群である．μ∈Λに対して

G_μ := { v∈V | Σ_x∈Xμα_{μ, x}^(v)=1, 任意のλ≠μに対してΣ_x∈Xλα_{λ, x}^(v)=0 }

とすれば G_μ∈V/H となる． 仮定により V/H の完全代表系Pを取ることができる． P∩G_μ = { g_μ }として

f(μ) := { x∈X_μ | α_{μ, x}^(g_μ) > 0 }⊂F_μ

と定める．明らかに |f(μ)|<∞ である． また g_μ∈G_μ であることから f(μ)≠ ∅ が分かる． 更に |X_μ|≧2 だから f(μ) ⊊ X_μ となり，証明が終わった．