ZFでは証明できない関数解析学の定理としてHahn-Banachの定理が有名である． Hahn-Banachの定理はある種の写像の延長の存在を保証する定理だが， 実はHahn-Banachの定理に「延長に関する条件」を付け加えると，選択公理と同値になることが知られている．

定義Xを実線型空間とする．

1. S⊂Xが凸集合
   ⇔ 任意の二点u, v∈Sに対し { tu+(1-t)v | t∈[0, 1] }⊂ S
2. S⊂Xを凸集合とする．x∈Sがextreme point
   ⇔ 任意の二点u, v∈Sに対し x ∉ { tu+(1-t)v | t∈(0, 1) }

3. p: V→Rが劣線型汎関数(sublinear functional)
   ⇔ 任意のv, w∈Vと任意の実数ξ≧0に対し
   p(v+w)≦p(v)+p(w), p(ξ v)=ξp(v)

   このときp(0)=p(0v)=0p(v)=0であり，

   0=p(0)=p(v+(-v))≦p(v)+p(-v)

   だから-p(-v)≦p(v)である．

定義 Xを集合とし，f, g: X→Rを部分関数とする(定義域をdomで表す)． S⊂Xを部分集合とするとき

f≦_Sg ⇔ S⊂dom(f)∩dom(g)かつ任意のx∈Sに対しf(x)≦g(x)
f=_Sg ⇔ S⊂dom(f)∩dom(g)かつ任意のx∈Sに対しf(x)=g(x)

と定義する．f=_Sg ⇔ f≦_Sgかつg≦_Sf である．

定義 Xを実線型空間，p, f: X→Rを部分関数とする． 更にpは劣線型，fは線型で，f≦_dom(f)pを満たすとする．このとき

Z(p, f) := { g: dom(p)→R:線型汎関数 | g=_dom(f)f, g≦_dom(p)p }

と書く．明らかにZ(p, f)は凸集合である．

Hahn-Banachの定理 選択公理を仮定する． Vを実線型空間，W⊂Vを部分空間として，p: V→Rを劣線型汎関数とする． f: W→Rを線型汎関数とし，f≦_Wpを満たすとする． このときZ(p, f)≠∅である．

証明A := {φ: V→R:部分線型汎関数 | W⊂dom(φ), φ≦_dom(φ)p, φ=_Wf} と置き，Aに順序を包含関係⊂で定める． C⊂Aを全順序部分集合とすると，φ := ∪_{ψ∈C}ψ∈Aは明らかにCの上界である． 故に(A, ⊂)にZornの補題を適用できて，極大元φ∈Aを得る． φの極大性によりdom(φ)=Vである．故にφ∈Z(p, f)である．

Hahn-Banachの定理の証明は選択公理よりも真に弱いBPI(=Boolean Prime Ideal theorem)があれば可能である．Hahn-Banachの定理を参照．

定理1 選択公理
⇔ Vを実線型空間，W⊂Vを部分空間，S⊂Vを部分集合とする． p: V→Rを劣線型汎関数とし，線型汎関数f: W→Rはf≦_Wpを満たすとする．このとき前順序集合(Z(p, f), ≦_S)の極大元が存在する．

即ちあるg∈Z(p, f)が存在して，任意のh∈Z(p, f)に対し「g≦_Shならばg=_Sh」が成り立つ．

証明(⇒) Hahn-Banachの定理によりZ(p, f)≠∅であるから，S⊂Wのときは明らか． S⊂Wでないとする． U⊂VをWとSで生成される部分空間とする．

A := { (M, φ) | W⊂M⊂Uは部分空間， MはWとM∩Sで生成される， φは(Z(p|_M, f), ≦_M∩S)の極大元}

に順序関係≦を

(M, φ)≦(N, ψ) ⇔ M⊂N, φ=_Mψ

で定める．C⊂Aを全順序部分集合とする． φ:=∪_{(N, ψ)∈ C}ψ，M := dom(φ)と定める． 明らかにφ∈Z(p|_M, f)である． g∈Z(p|_M, f)がφ≦_M∩Sgを満たすとする． 任意のs∈M∩Sを取る．Mの定義よりある(N, ψ)∈Cが存在してs∈Nとなる． (N, ψ)∈C⊂Aだから，ψは(Z(p|_N, f), ≦_N∩S)の極大元． g|_N∈Z(p|_N, f), ψ≦_N∩Sgだから，ψの極大性により ψ(s)=g(s)である．即ちφ(s)=g(s)， 従ってφ=_M∩Sgが分かり， φ∈ Z(p|_M, f)は極大元である． 故に(M, φ)∈A．よって明らかに(M, φ)はCの上界である． そこで(A, ≦)にZornの補題を適用して極大元(M, φ)∈Aを得る． 極大性よりM=Uである． このときHahn-Banachの定理によりg∈Z(p, φ)⊂Z(p, f)を取れば， このgが(Z(p, f), ≦_S)の極大元である．

(←)選択公理と同値なAMCを示す．

を互いに素な非空集合の族とする． として

V := {φ∈R^X | 有限個のλ∈Λを除いてφ(X_λ)=0}

と定める．Vは実線型空間である．A⊂Xに対しch_AでAの特性関数を表す．即ち

x∈Aのとき　ch_A(x) := 1
x∉Aのとき　ch_A(x) := 0

特にx∈Xに対し ch_x := ch_{x} と書く． S := {ch_x|x∈X}⊂V, S_λ := {ch_x| x∈X_λ}⊂Vと定める． v∈Vに対し，v⁺(x) := max{v(x), 0}と定義して

p(v) := Σ_{λ∈Λ}sup_{x∈X_λ}v⁺(x)

と定めるとp: V→Rは劣線型汎関数である．f:=0: 0→Rを線型汎関数として，仮定を適用し極大元g∈(Z(p, f), ≦_S)を得る． このとき

ρ_λ := (1/2)sup_{x∈X_λ}g(ch_x)
F_λ := { x∈X_λ | g(ch_x)>ρ_λ }

と定める．

λ∈Λを取る．F_λ=∅と仮定すると，g=_Sλ0でなければならない．

ρ_λ>0と仮定すると，supの性質によりあるx∈X_λが存在してg(ch_x)>ρである． 故にF_λ=∅に矛盾する．従ってρ_λ≦0となる． 即ちg≦_Sλ0． pの定義より，明らかに0≦_Vp．故に0∈Z(p, f)である． よってgの極大性によりg=_Sλ0である．

以下，簡単のため ch = ch_Xλ と書く．a∈X_λを一つ取り，h: V→Rを h(v) := g((1-ch)v)+v(a) で定める．pの定義により

p(v)=p((1-ch)v)+p(chv)≧ g((1-ch)v)+v⁺(a)≧h(v)

だからh∈Z(p, f)である．しかしx∈Xに対し

であるからg≦_Shかつg≠_Shとなり，gの極大性に矛盾する． 故にF_λ≠∅である．またρ>0である．

|F_λ|=∞と仮定する．自然数nをnρ>1となるように決める． このときF_λから互いに異なるn個の元a₁, …, a_n∈ F_λが取れる．すると

1=p(ch_{{a_1, …, a_n}})≧ g(ch_{{a_1, …, a_n}}) =g(ch_{a_1})+… +g(ch_{a_n})≧nρ>1

となり矛盾する．故に|F_λ|<∞となる．

以上よりAMCが示された．

定理2 以下の命題は(ZF上)同値

1. 選択公理
2. Vを実線型空間，W⊂Vを部分空間として，p: V→Rを劣線型汎関数とする． f: W→Rを線型汎関数とし，f≦_Wpを満たすとする． このときZ(p, f)はextreme pointを持つ．
3. 「実ノルム空間の双対空間」の単位球体はextreme pointを持つ

証明(1 ⇒ 2) 整列可能定理を使ってV＼Wを整列し，順序数λを使ってV＼W = { v_α| α<λ } と書く． α<λに対し(q_α, K_α, p_α)を以下の性質(a)～(e)を満たすように超限帰納法で定義する．

(a) p_α, q_α: V→Rは劣線型汎関数である．
(b) f≦_Wp_α
(c) p_α(v)≧-p₀(-v)
(d) β<αのときp_β≧_Vp_α
(e) K_α=Z(p_α, f)

(i) α=0のとき．

q₀ := p
K₀ := { g∈Z(q₀, f) | gは(Z(q₀, f), ≦_{v0})の極大元}
p₀(v) := sup{ g(v) | g∈K₀ }　(v∈V)

と定める．この定義が可能なこと，またこれらが性質(a)から(e)を満たすことを確認する． q₀が劣線型であることは良い．勿論 f ≦_W q₀である． 故に定理1により K₀ ≠ ∅ である． g∈K₀(⊂Z(q₀, f)) のとき g ≦_V q₀だから， 各v∈Vについて { g(v) | g∈K₀ } は上に有界である． 故にp₀(v)=sup{ g(v) | g∈K₀ } は定義され， 特にp₀≦_Vq₀となる． p₀, K₀の定義から明らかに

(f) 任意のg∈K₀に対しg(v₀)=p₀(v₀)

となる．また，任意のv, w∈ V, ξ≧0に対し

p₀(v+w)
=sup{ g(v+w) | g∈K₀ }
=sup{ g(v)+g(w) | g∈K₀ }
≦sup{ g(v) | g∈K₀ } + sup{ g(w) | g∈K₀ }
=p₀(v)+p₀(w)

p₀(ξv)
=sup{ g(ξv) | g∈K₀ }
=sup{ ξg(v) | g∈K₀ }
=ξp₀(v)

だから，p₀: V→Rは劣線型汎関数である． 故に(c) p₀(v)≧-p₀(-v)が成り立つ． またp₀の定義より f ≦_W p₀ だからZ(p₀, f)を考えることができる． このとき(e) K₀=Z(p₀, f)が分かる．

以上よりα=0の時は(a)から(e)が成り立つことが分かった．

(ii) 0<α<λのとき．

q_α(v) := inf{ p_β(v) | β<α }　(v∈ V)
K_α := { g∈Z(q_α, f) | gは (Z(q_α, f), ≦_{vα})の極大元 }
p_α(v) := sup{ g(v) | g∈K_α }　(v∈V)

と置く．この定義が可能なこと，またこれらが性質(a)から(e)を満たすことを確認する． 帰納法の仮定(c)よりβ<αに対しp_β(v)≧-p₀(-v)だから， {p_β(v)|β<α}は下に有界である． 故にq_α(v)=inf{ p_β(v) | β<α } は定義される． 任意のv, w∈V, ξ≧0に対し

q_α(v+w)
=inf{ p_β(v+w) | β<α }
≦inf{ p_β(v)+p_β(w) | β<α }　(∵帰納法の仮定(a))
=inf{ p_β(v) | β<α } + inf{ p_β(w) | β<α }　(∵帰納法の仮定(d))
=q_α(v)+q_α(w).

q_α(ξv)
=inf{ p_β(ξv) | β<α }
=inf{ ξp_β(v) | β<α }　(∵帰納法の仮定(a))
=ξq_α(v).

即ちq_α: V→Rは劣線型汎関数である． 帰納法の仮定(b)により q_α(v)=inf{ p_β(v) | β<α }≧f(v)だから f≦_Wq_αである． 故に定理1によりK_α≠∅である． g∈K_α(⊂Z(q_α, f))のときg≦q_αだから， { g(v) | g∈K_α } は上に有界である． よって p_α(v)=sup{ g(v) | g∈K_α} は定義され， 特にp_α≦_Vq_αである．従ってβ<αに対し p_α(v)≦q_α(v)=inf{ p_β(v) | β<α }≦ p_β(v)， 即ち(d)が成り立つ． 特にp_α(-v)≦p₀(-v)であるから， p_α(v)≧-p_α(-v)≧-p₀(-v)，即ち(c)が成り立つ． p_α, K_αの定義から明らかに

(g) 任意の g∈K_α に対し g(v_α)=p_α(v_α)

となる．また，任意のv, w∈V, ξ≧0に対し

p_α(v+w)
=sup{ g(v+w) | g∈K_α }
=sup{ (g(v)+g(w)) | g∈K_α }
≦sup{ g(v) | g∈K_α } + sup{ g(w) | g∈K_α }
=p_α(v)+p_α(w).

p_α(ξ v)
=sup{ g(ξv) | g∈K_α}
=sup{ ξg(v) | g∈K_α}
=ξp_α(v).

従ってp_α: V→Rは劣線型汎関数である． またp_αの定義より f ≦_W p_α だからZ(p_α, f)を考えることができる．このとき(e) K_α=Z(p_α, f)が成り立つ．

以上により(a)から(e)が成り立つことが分かった．

さて，v∈Vに対しq_λ(v):=inf{ p_α(v) | α<λ } と定める． 明らかに，α<λに対しp_α≧_Vp_λである． 性質(b)によりf≦_Wq_λであるから， Hahn-Banachの定理によりZ(q_λ, f)≠∅である． 0<α≦λとする．このときZ(q_α, f)=∩_β<α K_βとなる．

φ, ψ∈Z(q_λ, f)とする． α<λとするとφ, ψ∈K_αだから φ(v_α) = p_α(v_α) = ψ(v_α) である． 故にφ=_Vψである．即ちZ(q_λ, f)={φ}と書ける． このφがextreme pointである．

あるg, h∈Z(p, f), g, h≠φと 0<t<1 を使ってφ=tg+(1-t)h と書けたと仮定する． γ := min{ α<λ | g ∉ K_α または h ∉ K_α } と置く． φ∈K₀だからp₀(v₀)=φ(v₀)=tg(v₀)+(1-t)h(v₀)となる． g(v₀), h(v₀)≦p₀(v₀)であるから， g(v₀) = h(v₀) = p₀(v₀) でなければならない． 故にg, h∈ K₀だから，γ>0である． g, h∈∩_α<γ K_α=Z(q_γ, f)だから g, h≦q_γ となる． 「g ∉ K_γ または h ∉ K_γ」だから， 「g(v_γ)<p_γ(v_γ)またはh(x_γ)<p_γ(v_γ)」である．どちらにしてもφ(v_γ)=tg(v_γ)+(1-t)h(v_γ)<p_γ(v_γ)となり，φ∈Z(q_λ, f)⊂ K_γに矛盾する．

(2 ⇒ 3) (V, ||・||_V)を実ノルム空間とする． ||・||_V: V→Rは劣線型写像である． そこで W := 0, f := 0:0→Rとして仮定2を使えば Z(||・||_V, f)⊂V^*はextreme pointを持つ． S⊂V^*を単位球体とする． 即ちS := { g∈V^* | ||g||_V^*≦1 } であるが， || g||_V^*≦1 ⇔ |g(・)| ≦_V ||・||_Vである． 故にZ(||・||_V, f)=Sとなり，Sはextreme pointを持つ．

(3 ⇒ 1) を非空集合の族とする．X_λは互いに素としてよい． X := として

V := { f∈R^X | 任意のε>0に対し{ x∈X | |f(x)|>ε } は有限集合， Σ_λ∈Λ sup{ |f(x)| | x∈X_λ }<∞ }
W := { g∈R^X | sup{ Σ_x∈Xλ |g(x)| | λ∈Λ }<∞ }

と定める．これらは次のノルムでノルム空間になる．

||f||_V := Σ_{λ∈Λ}sup{ |f(x)| | x∈X_λ }
||g||_W := sup{ Σ_{x∈X_λ}|g(x)| | λ∈Λ }

S := { g∈W | ||g||_W≦1 }⊂W を単位球体とする． V^* := { ξ: V→R：有界線型 } をVの双対空間とすると， 後で述べる補題により等長同型 W ≅ V^*が成り立つ．

これによりSをV^*内の単位球体とみなす．仮定よりSは extreme point e∈S を持つ．任意のλ∈Λを取る．e(x)≠0となるx∈ X_λが一意に存在する．

そこで F: Λ→ X=∪X_λをF(λ) := (e(x)≠0となるx∈ X_λ) で定めればFが選択関数となる．

Banach-Alaogluの定理 ノルム空間 X の双対空間 X^* の閉単位球体 B⊂X^* は弱*位相でコンパクトである．

Krein-Milmanの定理 局所凸位相線型空間のコンパクト凸集合はextreme pointを持つ．

定理 選択公理 ⇔ Banach-Alaogluの定理 + Krein-Milmanの定理

証明 ( ⇒ ) 略

( ← )前定理の条件3を示す． X を実ノルム空間とする． X^* は局所凸位相線型空間で，単位球体 B⊂X^* は凸集合である．Banach-Alaogluにより B⊂X^* はコンパクトである．故にKlein-Milmanの定理により B はextreme pointを持つ．