次の命題をBPI (Boolean Prime Ideal Theorem)という．

命題 ([1], FORM 14) 任意のブール代数は素イデアルを持つ．

定理 ZFにおいて次が成り立つ．

1. BPIは証明も反証もできない．
2. 選択公理 ⇒ BPI は証明できる．
3. BPI ⇒ 選択公理 は証明も反証もできない．

定理 次の命題は(ZF上)同値である．

1. BPI
2. 任意の集合 S について，P(S) の真のフィルターは超フィルターに拡張できる．(超フィルター定理)
3. 任意の集合 S について「F⊂P(S) が有限交差性を持つならば，F は超フィルターに拡張できる」．(FIP Extension Principle)
4. 単位的可換環は素イデアルを持つ．
5. 単位的環は両側素イデアルを持つ．
6. 単位的正則環は極大イデアルを持つ．
7. R を単位的可換環，I ⊊ R を真のイデアルとするとき，√I = ∩{ p⊃I | p⊂R は素イデアル } となる．
8. R を可換環，S⊂R を部分環として，p を S の素イデアルで p = Rp∩S を満たすとする． このとき R の素イデアル P が存在して p = P∩S を満たす．
9. コンパクトHausdorff空間の直積はコンパクト．
10. 有限位相空間の直積はコンパクト．
11. コンパクトかつsoberな空間の直積はコンパクト．
12. Banach空間の双対空間の単位球体は弱*位相についてコンパクトである．(Alaogluの定理)
13. 位相空間Xがコンパクト ⇔ Xの準基底Sで「Sの元からなる開被覆は有限部分被覆を持つ」を満たすものが存在する．(Alexander's Subbase Lemma)