定義 Xを集合，Gを群とする．次の条件を満たす(T, p)をX上のG-torsorという．

1. p: T→X は全射である．p を射影という．
2. G は T に右から作用する．g∈G の t∈T への作用を t^g で表す．
3. 任意の t∈T と g∈G に対し p(t^g) = p(t)．
4. p(t) = p(s) を満たす t, s∈T に対し，ある g∈G が一意に存在して s = t^g となる．

例 T := X×G, p(x, g) := x, (t, g)^h := (t, gh) と定めれば (T, p)はX上のG-torsorになる．

定義 G-torsor (T, p), (T', p') が同型
⇔全単射 T→T'で射影と群作用と可換になる (即ち p'(f(t))=p(t) かつ f(t)^g=f(t^g) ) ようなものが存在する．

定義 X 上の G-torsor の同型類がなすクラスを H¹(X, G)と書く．

先の例により X 上の G-torsor は少なくとも一つ存在するから，H¹(X, G)≠ ∅ が分かる． G-torsor X×G が属する同型類を 1 で表すことにする．即ち 1∈H¹(X, G)．

定理 選択公理 ⇔ 任意の集合 X と任意の群 G に対して H¹(X, G) = {1}

証明(⇒) (T, p) を X 上の G-torsor とする．(T, p) が X×G と同型であることを示せばよい． p は全射だから選択公理によりある写像 s: X→T が存在して ps=id_X を満たす．このとき f: X×G→T を f(x, g) := s(x)^g で定義すれば f は同型である．

(←) を互いに素な非空集合の族とする． ある集合 S が存在して任意のλ∈Λに対し |X_λ| = |S| であると仮定してよい．

集合に関する命題の定理1を参照．

G を S の置換がなす群として， T_λ := { t: S→X_λ | tは全単射 } ≠ ∅ , T := ∪_λ∈Λ T_λ と置く． G は T に t^g := tg によって作用する． 射影 p: T→Λ を T_λ の元をλ∈Λへ写す写像とすれば， (T, p) はΛ上の G-torsor である． 仮定により同型 f: T→Λ×G が存在する． 今 s: Λ→T を s(λ) := f^-1(<λ, id_S>) で定めると fが同型であることから s(λ)∈T_λ である． そこで元 a∈S を一つ取り，φ: Λ→ を φ(λ) := s(λ)(a) で定めればφが選択関数である．

定理 選択公理 ⇔ 任意の集合 X と任意のアーベル群 G に対して H¹(X, G) = {1}

証明(⇒) 明らか．

(←) 選択公理と同値な次の命題を示す．

集合族が「任意のλ∈Λに対し|X_λ|≧2」を満たすとするとき，
Λ上の写像 f が存在して，任意のλ∈Λに対し f(λ) ⊊ X_λ かつ 0<|f(λ)|<∞ ．

the Axiom of Multiple Choiceの定理2を参照．

を「任意のλ∈Λに対し|X_λ|≧ 2」を満たす集合族とする． は互いに素としてよい． と置いて， G を X で生成される自由アーベル群とする．即ち任意の元 g∈G は

g = Π_x∈Xx^{n(g, x)},　n(g, x)∈Z,　有限個の x∈X を除いて n(g, x)=0

と表示される．λ∈Λに対して n(g, λ) := Σ_x∈Xλ n(g, x) と定める．

H := { g∈G | 任意のλ∈Λに対して n(g, λ)=0 }
T_λ := { g∈G | n(g, λ)=1，任意のμ≠λに対して n(g, μ)=0 }

と置けば H⊂G は部分群で，乗法により H は T_λに作用する． T := ∪_λ∈Λ T_λとして，射影 p: T→Λ を T_λ の元をλ∈Λへ写す写像とすれば，(T, p) はΛ上の H-torsor である．仮定により同型 g: T→Λ×H が存在する． 今 e∈H を単位元として s: Λ→T を s(λ) := ^-1(<λ, e>) で定めると g が同型であることから s(λ)∈T_λ である． f(λ) := { x∈X_λ | n(s(λ), x)>0 } と置く． s(λ)∈T_λ だから Σ_x∈Xλn(s(λ), x) = n(s(λ), λ) = 1，故に f(λ)≠ ∅ である．また n(s(λ), x)≠0 となる x∈X_λ は有限個だから |f(λ)|<∞ となる．更に，|X_λ|≧2 だから，f(λ) ⊊ X_λであることも分かる． 故にこの f が条件を満たす．