ZFA+￢Urysohn のモデルを構成する． A を可算として， <A, ≦> ≅ <Q, ≦> となる A の順序 ≦ を取る． G を の順序同型全体とする．

I := { E⊂A | E は高々有限個しか集積点を持たない，かつ任意の無限部分集合S⊂Eは集積点を持つ }

とすると， I はnormalイデアルとなる． I によりpermutationモデル U を定める．

≦= { <a, b>∈A×A | a≦b } だから g∈G に対して

g(≦)
= { <g(a), g(b)>∈A×A | a≦b }
= { <g(a), g(b)>∈A×A | g(a)≦g(b) }
= ≦

である．故に fix(≦) = G だから ≦∈U となる．よって ∈U であり， A に順序位相が入る．

命題 A は T₄ 空間である．

証明 F₀, F₁⊂A を互いに素な閉集合とする． F₀, F₁ のそれぞれのsupportを E₀, E₁ として E := E₀∪E₁ と置く． T を E の集積点全体がなす有限集合とし， F₀∩T = { x₁, …, x_m }，T＼ { x₁, …, x_m } = { y₁, …, y_n } と書く． F₀, F₁ は閉だから開区間 I_i∋x_i，J_j∋y_j で I_i∩F₁ = ∅，J_j∩F₀ = ∅ となるものが取れる．このとき I_i∩J_j = ∅ としてよい．

V := (∪_iI_i)∪(∪_jJ_j) は T を含む開集合である． E の無限部分集合は集積点を持つから， V の定義により |E＼V| < ∞ でなければならない． F₀∩(E＼V) = { x_m+1, …, x_m' }，F₁∩(E＼V) = { y_n+1, …, y_n' } と書く．先と同じように開区間 I_i∋x_i，J_j∋y_j を取り， U₀ := F₀∪∪_i=1^m'I_i，U₁ := F₁∪∪_j=1^n'J_j と置けば F₀⊂U₀，F₁⊂U₁，U₀∩U₁ = ∅ である．

命題 連続関数 f: A→R は定数関数しかない．

証明 まず A がDedekindの切断公理を満たすことを示す． ∈U を A の切断とし， maxB も minC も存在しないと仮定する． E を B のsupportとする． E は集積点を有限個しかもたないから，閉区間 I⊂A で I∩B≠ ∅，I∩C≠ ∅，かつ I は E の集積点を含まないようにできる． E の無限部分集合は集積点をもつから， |I∩E| < ∞ でなければならない．従って初めから I∩E = ∅ としてよい．このとき g∈G を A＼I 上恒等写像となるようにとれば g∈fix(E) である．故に g(B) = B とならなければならないが，明らかに g(B)≠B となるような g が存在し，矛盾する．従って max(B) か min(C) が存在し，Dedekindの切断公理が成り立つ．故に A では中間値の定理が成り立つ．

連続関数 f: A→R が定数関数でないと仮定する．すると中間値の定理から，ある s, t∈R ， s < t が存在して [s, t]⊂f(A) となる．すると V での全射 A→[s, t] が得られるが， |A| = ₀ だったから矛盾する．従って f は定数関数である．

定理 Urysohnの補題は ZFA で証明できない．