定義 位相空間Xがスーパーコンパクト ⇔ 任意の開被覆 X=∪_i∈IU_i に対して，ある i∈I が存在して U_i=X となる．

定理 選択公理⇔スーパーコンパクト空間の直積はスーパーコンパクト

スーパーコンパクトT₀空間の直積がスーパーコンパクトになることは選択公理を使わずに証明できる．

証明 (⇒) { (X_λ, O_λ) }_λ∈Λをスーパーコンパクト空間の族としてX := とする．各X_λはスーパーコンパクトだからY_λ := { x∈X_λ | x∈U∈O ⇒ U=X_λ } は空でない．{ Y_λ }_λ∈Λ に選択公理を適用して元 x = (x_λ )∈Π_λ∈ΛY_λ⊂X を得る．U⊂X を x∈X の開近傍とする．Π_λ∈ΛU_λ⊂U, x_λ∈U_λ∈O_λと書ける．すると各x_λの取り方からU_λ=X_λとなる．即ちU=X．

( ⇐ ) { X_λ }_λ∈Λ を空でない集合の族とする． X_λ^* := X_λ{∞} の位相を { ∅, {∞}, X_λ^* } で定めると，これはスーパーコンパクトである．よって直積 X := Π_λ∈ΛX_λ^* もスーパーコンパクトである．π_λ: X→X_λ^* を標準射影とすれば π_λ^-1(∞)⊂X は開集合で，明らかに π_λ^-1(∞)≠X である．X がスーパーコンパクトだから { π_λ^-1(∞) | λ∈Λ } は開被覆ではない．故に x∈X＼∪_λ∈Λπ_λ^-1(∞) が存在する．このとき明らかに x∈Π_λ∈ΛX_λ である．

次の命題をHewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理という．

Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理 κ を無限基数， を位相空間の族とする． λ∈Λ に対して X_λ は濃度 κ 以下の稠密部分集合を持ち， |Λ|≦2^κ が成り立つとする．このとき直積空間 は濃度 κ 以下の稠密部分集合を持つ．

定理 選択公理 ⇔ Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理

証明 ( ⇒ ) 省略．

( ⇐ ) 選択公理と同値な「無限集合 X に対して |X|²=|X| 」を示す(濃度の性質を参照)．X を無限集合として離散位相を入れる． X⊂X は濃度 |X| の稠密部分集合である．直積空間 X×X を考えると， 2≦2^|X| が成り立つからHewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理により濃度 X 以下の稠密部分集合 D⊂X×X が存在する． X×X は離散位相空間だから D=X×X となり |X|²=|X×X|=|D|≦|X|≦|X|² より |X|²=|X| である．