定理 選択公理 ⇔ Łośの定理+BPI

証明 ⇐ を示す． を互いに素な非空集合の族， X := ∪_λ∈ΛX_λ とする． X∩Λ= ∅ としてよい． A := X∪Λ と置く．二項関係 R⊂A×A を

aRb ⇔ 「a∈X, b∈Λ, a∈X_b」または「a=b∈X」

で定める． A := <A, R> とする．

が選択関数を持たないと仮定する．

I := { Σ⊂Λ| { X_λ }_λ∈Σは選択関数を持つ }

は Λ 上のイデアルである．BPIにより素イデアル P⊃I が存在する．このとき U := { Σ⊂Λ|Λ＼Σ∈P } は Λ 上の超フィルターである．Łośの定理より A と A^Λ/U は初等的同値である． R の定義より A |= ∀u∃v(vRu) が成り立つ．よって A^Λ/U |= ∀u∃v(vRu) であるから， u := [id_Λ]∈A^Λ/U に対してある v∈A^Λ/U が存在して vRu となる． f: Λ→A によって v=[f] と書けば Σ := { λ∈Λ| f(λ) R id_Λ(λ) } ∈U である． R の定義から f(λ) R id_Λ(λ) ⇔ f(λ)∈X_λ だから f|_Σ は { X_λ } _λ∈Σ の選択関数である．よって Λ＼Σ∈F⊂U だから ∅ =Σ∩(Λ＼Σ)∈U となり矛盾する．