定義 X を位相空間とし，X の空でない閉集合全体のなす集合を A_X⁰ で表す．

1. X がLoeb空間 ⇔ A_X⁰ が選択関数を持つ．

2. X が弱Loeb空間
   ⇔ A_X⁰ が以下を満たす関数 f: A_X⁰→P(X) を持つ．

   任意の F∈A_X⁰ に対して 0 < |f(F)| <∞ かつ f(F)⊂F

例1 X を位相空間とする．X が整列可能ならば X はLoeb空間である．

例2 X を任意の集合とする．X に離散位相を入れてAlexandroffの一点コンパクト化 X^* = X∪{∞} を考える．A_X*⁰ = { Y⊂X | |Y| < ∞ }∪{ Y∪{∞} | Y⊂X } だから，X^*は弱Loeb空間である．

定理 次の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. 任意の位相空間はLoeb空間である
3. 離散位相空間はLoeb空間である
4. 任意の位相空間は弱Loeb空間である
5. 離散位相空間は弱Loeb空間である

証明 1⇒2 と 2⇒3 は明らか．

(3 ⇒ 1) を互いに素な非空集合の族とする．に離散位相を入れる．仮定により X はLoeb空間である．故に A_X⁰ が選択関数を持つから，{ X_λ |λ∈Λ}⊂A_X⁰ も選択関数を持つ．

1⇒4 と 4 ⇒5 も明らか．

(5 ⇒ 1) 3⇒1 と同様にして 5⇒AMC が分かるから，選択公理とAMCが同値であることより従う．

定理 選択公理 ⇔ 弱Loeb空間の開部分空間は弱Loeb空間である．

証明(⇒)明らか．

(←) 離散位相空間 X が弱Loeb空間であることを示せばよい．例2で述べたようにコンパクト化 X^* は弱Loeb空間である．故に仮定から開部分空間 X⊂X^* も弱Loeb空間である．

定理 次の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. 任意のコンパクトHausdorff空間は，整列可能な稠密部分集合を持つ．
3. 任意のコンパクトHausdorff空間は，整列可能な基底を持つ．
4. コンパクトHausdorff空間の任意の点は，整列可能な基本近傍系を持つ．

証明 (1 ⇒ 2) 明らか．

(2 ⇒ 1) 離散位相空間 X がLoeb空間であることを示せばよい．コンパクト化 X^* はコンパクトHausdorffであるから，仮定より整列可能な稠密部分集合 D⊂X^* を持つ．しかし X^* の稠密な部分集合は定義から X か X^* しかない．従って X は整列可能であり，Loeb空間であることが分かる．

(1 ⇒ 3) 明らか．

(3 ⇒ 1) X^*の基底は { {x} | x∈X } を含むので X は整列可能である．

(1 ⇒ 4) 明らか．

(4 ⇒ 1) 離散位相空間Xが弱Loeb空間であることを示せばよい．コンパクト化X^*=X∪{∞}はコンパクトHausdorffであるから，∞∈X^*は整列可能な基本近傍系 N を持つ．N の整列順序を一つ定めておく．X^*の定義から各 U∈N に対して |X＼U| < ∞ である．そこで F∈A_X⁰ に対して f(F) := F＼min{ U∈N | ￢F⊂U } と定めれば 0 < |F| < ∞ かつ f(F)⊂F である．

命題 Loeb Hausdorff空間の直積はLoeb空間
⇒ 非空整列可能集合の族 は選択関数を持つ．

証明 を非空整列可能集合の族とする．どの X_λ にも含まれない元 ∞ を取り Y_λ := X_λ∪{∞} に離散位相を入れるとこれはLoeb Hausdorff空間である．よって直積空間 Y := Π_λ∈ΛY_λ はLoeb空間である．そこで g: A_X⁰→X を選択関数とし， π_λ: X→X_λ を標準射影とする． Y の定義から明らかに，各 λ∈Λ に対して π_λ^-1(X_λ)∈A_X⁰ である．よって f: Λ→ を f(λ) := π_λ(g(π_λ^-1(X_λ))) で定めれば f が選択関数である．

命題 Loeb Hausdorff空間の直積はLoeb空間
⇒を整列可能集合の族で Λ が整列可能ならばも整列可能．
特に，選択公理 ⇔「Loeb Hausdorff空間の直積はLoeb空間，かつ任意の集合は整列可能集合の整列和で書ける．」

証明 を整列可能集合の族とする．前命題と同じ記号を使うことにして， A⊂X_λ を取ると π_λ^-1(A)∈A_X⁰ である．よって P(X_λ)＼{∅} の選択関数 f_λ が f_λ(A) := π_λ(g(π_λ^-1(A))) により定まる．この選択関数 f_λ により X_λ の整列順序 ≦_λ が定義される．これにより の整列順序が定義できる．故に は整列可能である．