Xを集合，kを体とする．Xの元を不定元とする多項式環 k[X] の「係数1の単項式全体がなす集合」をMと置く．任意の f∈k[X] に対して，ある q₀, …, q_n∈k^×と相異なる m₀, …, m_n∈M が一意に存在してf=q₀m₀+…+q_nm_nと書ける．このとき M_f := { m₀, …, m_n } と書く．また，部分集合 A⊂k[X] が生成する k[X] のイデアルを (A) で表すことにする．(A) = { f₀m₀+…+f_nm_n | n≧0, f_i∈k[X], m_i∈A } である．

定義 部分集合 A⊂k[X] がconservative ⇔ ∪_f∈AM_f⊂A．

命題1 イデアル a⊂k[X] がconservative ⇔ ある部分集合 N⊂M が存在して a=(N) と書ける．

証明(⇒) N := ∪_f∈aM_f と置く．aがconservativeだからN⊂a，従って(N)⊂aである．一方，f∈a とすれば M_f⊂N だから f∈(M_f)⊂(N) となる．

(←) f∈(N) のとき M_f⊂(N) であるから明らか．

k[X] のconservativeなイデアル全体のなす集合を c-I(k[X]) で表すことにする．c-I(k[X]) は包含関係⊂により順序集合である．以下，このページでは「順序」と書いたら常に⊂による順序を表す．σ: P(M)→c-I(k[X]) をσ(N) := (N) で定める．これは順序を保つ写像である(即ちN₀⊂N₁⇒σ(N₀)⊂σ(N₁)となる)．命題1によればσは全射である．

k[X]のconservativeな素イデアル全体を c-Spec(k[X]) で表すことにする． X⊂M であるから P(X)⊂P(M) である． よって制限写像σ|_P(X)を考えることが出来る．

命題2

1. σ|_P(X)は単射である．
2. Image(σ|_P(X)) = c-Spec(k[X])．
3. σ|_P(X): P(X)→c-Spec(k[X]) は順序同型である．

証明 (1) 明らか．

(2) Y⊂X に対してσ(Y)=(Y) は素イデアルである．よって Image(σ|_P(X))⊂c-Spec(k[X]) である．p∈c-Spec(k[X]) とする．σ(X∩p)⊂σ(p)=p は明らかである．逆に，任意の f∈p に対して f∈σ(X∩p) である．

よってσ(X∩p)=pである．以上より Image(σ|_P(X))=c-Spec(k[X])．

(3) (2)の証明から分かるように，σ|_P(X)の逆写像は p |→ X∩p である．故に Y, Z∈P(X) に対して「Y⊂Z ⇔ σ|_P(X)(Y)⊂σ|_P(X)(Z)」となる．

定義 Xを集合とする．

1. F⊂P(X) が有限性を持つ
   ⇔「Y∈F ⇔ 任意の有限部分集合 Z⊂Y に対して Z∈F」
2. Fin(X) := { F⊂P(X) | Fは有限性を持つ }
3. F∈Fin(X) に対して A(F) := ∪_Y∈F(Y)
4. 部分集合 A⊂k[X] に対して c-Spec_⊂A(k[X]) := { p∈c-Spec(k[X]) | p⊂A }

F∈Fin(X) とすると，F⊂P(X) であるからσ|_F=σ|_P(X)|_Fを考えることが出来る．

補題3 Image(σ|_F) = c-Spec_⊂A(F)(k[X])

証明 簡単のため，この証明の中だけ「(k[X])」を略す． 命題2で示したように，σ|_P(X): P(X)→c-Spec は順序同型であった．よって P(X)∩σ^-1(c-Spec_⊂A(F)) = F を示せば良い．I_⊂A(F) = I_⊂A(F)(k[X]) := { a⊂k[X] | aはイデアル，a⊂A(F) } と置けば

P(X)∩σ^-1(c-Spec_⊂A(F))
= P(X)∩σ^-1(c-Spec∩I_⊂A(F))
= P(X)∩σ^-1(c-Spec)∩σ^-1(I_⊂A(F))
= P(X)∩{ N⊂M | σ(N)=(N)⊂A(F) }
= { Y⊂X | (Y)⊂A(F) }

である．故に { Y⊂X | (Y)⊂A(F) } = F を示せば良い．

A(F) = ∪_Y∈F(Y) だから⊃は明らか．

Y⊂X が (Y)⊂A(F) を満たすとする．任意の有限部分集合 Z⊂Y に対して Z∈F である．

Z⊂Y で Z が有限だからΣ_z∈Zz∈(Y)⊂A(F)=∪_W∈F(W) である．即ちあるW∈F が存在して Σ_z∈Zz∈(W) となる．このとき明らかに Z⊂W でなければならない．Z は有限集合だったから，F の有限性により Z∈F である．

Z は任意だったから，再び F の有限性により Y∈F である．故に { Y⊂X | (Y)⊂A(F) }⊂F が分かった．

補題4 F⊂P(X) は有限性を持つとする．a∈I_⊂A(F)(k[X]) と f∈a と m∈M_f に対して (m)+a∈I_⊂A(F)(k[X])である．

証明 任意の g∈a を取る．自然数 e を，どの n∈M_g も m^e で割り切れないように取る．h := m^ef+g∈a とすれば，a⊂A(F) だからある Y∈F が存在して h∈(Y) である．e の取り方から m^e+1∈M_h かつ M_g⊂M_h が分かる．補題3により (Y) はconservativeだからm^e+1∈(Y) かつ M_g⊂(Y) である．(Y) は素イデアルだから m∈(Y) となる．故に，任意のα∈k[X] に対して αm+g⊂(Y)⊂A(F) である． 即ち (m)+a⊂A(F)．

補題5 F⊂P(X) は有限性を持つとする．a∈I_⊂A(F)(k[X]) とする．このとき c-I_⊃a(k[X]) := { b∈c-I(k[X]) | b⊃a } は最小元 c を持ち，c⊂A(F) を満たす．

証明 N := ∪_f∈aM_f として c := (N) と置く．明らかに c=min(c-I_⊃a(k[X])) である．よって c⊂A(F) を示せば良い．その為に任意の g∈c を取る．c の定義から，ある m₀, …, m_n∈N とα₀, …, α_n∈k^×が存在して g=α₀m₀+…+α_nm_n と書ける．N の定義から，ある f₀, …, f_n∈a が存在して m_i∈M_fiとなる．よって補題4を使えば，0≦i≦nに対して帰納的に (m_i)+((m_i-1)+…+(m₀)+a)⊂A(F) であることが分かる．従って g∈A(F) である．

命題6 F⊂P(X) は有限性を持つとする．このとき Spec_⊂A(F)(k[X]) の極大元はconservativeイデアルである．

証明 a∈Spec_⊂A(F)(k[X]) を極大元とする．勿論 a∈I_⊂A(F)(k[X]) であるから，補題5により c := min(c-I_⊃a(k[X])) は存在し，c⊂A(F) である．c は素イデアルである．

fg∈c とする．c⊂A(F)=∪_Y∈F(Y) だから，ある Y∈F が存在して fg∈(Y) である．(Y) は素イデアルだから，f∈(Y) または g∈(Y) となる．今，c はconservativeだから (Y)⊂c である．故に f∈c または g∈c となる．即ち，c は素イデアルである．

よって a⊂c∈Spec_⊂A(F)(k[X]) であるが，a の極大性により a=c となる．よって a はconservativeである．

順序集合Aの極大元全体がなす集合をm(A)で表すことにする．

命題7 X を任意の集合，k を任意の体，F∈Fin(X) とする．このとき全単射 m(F)→m(c-Spec_⊂A(F)(k[X])) が存在する．

証明 補題3により，σ|_F: F→c-Spec_⊂A(F)(k[X]) は全単射である．σは順序同型だったから，σ|_Fも順序同型であり，よってσ|_m(F): m(F)→m(c-Spec_⊂A(F)(k[X]))は全単射である．

F∈Fin(X)とする．A(F)=∪_Y∈F(Y) は素イデアルの和集合であるから，S := k[X]＼A(F) は積閉集合である．故に局所化 k[X]_A(F)=S^-1k[X] を考えることが出来る．良く知られているように，自然な写像 k[X]→k[X]_A(F) によって順序同型ρ: Spec(k[X]_A(F))→Spec_⊂A(F)(k[X]) が得られる．

命題8 ρは全単射 m(Spec(k[X]_A(F)))→m(c-Spec_⊂A(F)(k[X])) を与える．

証明 a∈m(Spec(k[X]_A(F))) とする．ρは順序同型だから，ρ(a)は Spec_⊂A(F)(k[X]) の極大元である．故に命題6によりρ(a)∈c-Spec_⊂A(F)(k[X]) となる．このとき明らかにρ(a)∈m(c-Spec_⊂A(F)(k[X])) である．

定理X を任意の集合，k を任意の体，F∈Fin(X) とするとき，次の条件は同値．

1. F は極大元を持つ．
2. k[X]_A(F) は極大イデアルを持つ．

証明 命題7と命題8により明らか．

定理Krullの定理⇒選択公理

証明 Tukeyの補題「有限性を持つ集合は極大元をもつ」は選択公理と同値である(詳しくはZornの補題・極大原理の定理1を参照)．故に前定理から明らか．