定理

選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに群構造を入れることができる

証明 (⇒) Xが有限集合の時は自明( Z/nZ を考えればよい)だから，Xは無限集合とする．P_fin(X) := { x⊂X | xは有限集合 } と書くことにする．選択公理より，|X| = |P_fin(X)|，即ち全単射 X→P_fin(X) が存在する．

実は「任意の無限集合Xに対し |X| = |P_fin(X)| 」は選択公理と同値である．証明は基数の性質の定理9を参照．

よって P_fin(X) に群構造を入れられることを示せばよい．

自然な同一視 P(X) = 2^X で考えると P_fin(X) = { f∈2^X | 有限個のx∈Xを除いてf(x)=0 }である．2 = {0, 1} = Z/2Z は体だから，それの直積である2^Xは自然に環となる．このとき明らかに P_fin(X)⊂2^X は(加法についての)部分群である．故に P_fin(X) に群構造を入れることができた．

(←)整列可能定理を示す．X≠∅ を任意の集合とする．単射λ→X が存在しないような順序数λが存在するので，そのようなλを1つ取っておく．

λ := {β:順序数 | 単射β→Xが存在する } と置けばよい．基数の性質の命題の証明を参照．

仮定により X∪λを群にすることができる．(その積を・とする．)このとき

任意のx∈Xに対して，あるα∈λ が存在してx・α∈λ

が成立する．

x∈Xとする．写像 f: λ→X∪λ をf(α) := x・αで定義すれば，これは積・の性質により単射となる．よって，λの取り方から ￢Im(f)⊂X でなければならない．故にあるα∈λが存在して x・α = f(α) ∉ X，即ちx・α∈λである．

さて，直積λ×λに辞書式順序を入れる．するとこれは整列順序になる．そこでg\colon X→λ×λを

g(x) := min{ <α, β>∈λ×λ | x・α=β }

と定義すると，gは単射であり，よってXは整列可能である．

この定理を見てすぐに思いつくのは，群の部分を環や体などの別の構造にしたらどうなるか，という問題である．まず次の2点に注意する．

(1) P_fin(X)⊂2^Xは積についても閉じている． 故にP_fin(X) は(単位元を持たない)可換環になる．

P(X)の∩が2^Xの積に対応している．勿論， 先ほどと同様に直接 (P_fin(X), Δ, ∩) が環になることを示すこともできる．

(2) ← の証明には積・から得られる写像が単射であることしか使っていない．特に，積・が

∀x, y, zに対し( x・y=x・z ⇒ y=z )
∀x, y, zに対し( x・z=y・z ⇒ x=y )

という性質を満たしていれば先の証明は実行できる． (この条件を満たすことを消約(cancellative)と言うことにする．) 従って次の系が分かる．

系 前定理は群の部分を

• 消約亜群 (亜群=magma=二項演算を持つ集合)
• 消約半群
• 消約アーベル半群
• quasigroup ( ∀a, b ∃x, y( a・x=b, y・a=b ) を満たす消約亜群)
• loop (単位元を持つquasigroup)
• アーベル群
• (単位元の存在を仮定しない)可換環

に変更しても成立する．

更に，次のことも分かる．

定理 次の命題は( ZF 上)同値．

1. 選択公理
2. 任意の非空集合に単位的可換環の構造を入れることができる．
3. 任意の無限集合に整域の構造を入れることができる．
4. 任意の無限集合に体の構造を入れることができる．

証明 4⇒3 と 3⇒2 と 2⇒1 は明らかだから，1⇒4 を示せばよい．その為には無限集合 X に対して |X|=|Q(X)| を示せばよい．

まず明らかに |X|≦|Q(X)| である． α∈Q に対して

A_α := { αx₁…x_n | n∈N, x_i∈X } ⊂Q(X)

と置けば

|Q(X)|≦|P_fin(∪_α∈QA_α)| = |∪_α∈QA_α|≦₀・|A₁| = |A₁|

だから |A₁|≦|X| を示せばよい．

有限集合 Y = { x₁, …, x_n } ⊂X に対して B_Y := { x₁^e₁…x_n^e_n | e_i > 0 } と書く．このとき A₁ = ∪_Y∈Pfin(X)B_Y である．今， |B_Y| = ₀^|Y| = ₀ だから

|A₁| = Σ_Y∈Pfin(X)|B_Y| = Σ_Y∈Pfin(X)0 = |P_fin(X)|・₀ = |X|・₀ = |X|

である．