選択公理とは「非空集合の族に対して≠∅」であった．これをX_λを別のもの，例えば群にした場合どうなるであろうか?

{ G_λ }_λ∈Λ を群の族とする．このとき明らかに(選択公理によらず)Π_λ∈ΛG_λ≠∅である．何故ならば e_λ を群 G_λ の単位元とすれば (e_λ)∈Π_λ∈ΛG_λ となるからである． また，互いに異なるλ₀, …, λ_n∈Λを任意に取り

g_λ = 任意のg∈G_λi　(λ=λ_iのとき)
g_λ = e_λ　(λ≠λ₀, …, λ_nのとき)

とすれば (g_λ)∈Π_λ∈ΛG_λ である．即ち群の直積Π_λ∈ΛG_λ は(選択公理によらず)たくさんの元を持つことが分かる．

これは各群が単位元を一意に持つから言えることであるが，では成分に単位元が一切現れないような元は取れるであろうか?

定理 選択公理
⇔ 非自明群の族 { G_λ }_λ∈Λ に対して，「任意のλ∈Λに対してg_λ≠e_λ」を満たす元 (g_λ)_λ∈Λ∈Π_λ∈ΛG_λ が存在する．

証明 (⇒)明らか．

(←)選択公理と同値なAMCを示せばよい．

を非空集合の族とする． F(X_λ) := { Y⊂X_λ | Yは有限集合 } は 対称差 Y△Z := (Y∪Z)＼(Z∩Y) を積として群になる． 単位元は ∅ である． 仮定により(Y_λ)_λ∈Λ∈Π_λ∈ΛF(X_λ)で 各λ∈Λについて Y_λ≠∅ となるものが取れる． よってAMCが成立することが分かる．

この場合証明に基礎の公理を使用しているが， 群を環にした場合を考えると(基礎の公理無しに)次の同値が成り立つ．

定理 選択公理
⇔ 環の族{R_λ}_λ∈Λで「任意のλ∈Λに対して|R_λ|≧3」を満たすものに対して，「任意のλ∈Λに対してx_λ≠0_λ, 1_λ」を満たす元(x_λ)_λ∈Λ∈Π_λ∈ΛR_λが存在する．

証明(⇒)明らか．

(←)選択公理と同値な次の命題を示す．

集合族が「任意のλ∈Λに対し |X_λ|≧2 」を満たすとき， Λ上の関数 f が存在して任意のλ∈Λに対して ∅ ≠f(λ) ⊊ X_λかつ|f(λ)|<∞ となる．

を非空集合の族で|X_λ|≧2を満たすとする．R_λ := F(X_λ)∪{ X_λ＼ Y | Y∈F(X_λ) } は対称差△を和，共通部分∩を積として環になる．零元は ∅ ，単位元は X_λ である．明らかに|R_λ|≧3だから，仮定により(Y_λ)_λ∈Λ∈Π_λ∈ΛF(X_λ)で各λ∈ΛについてY_λ≠∅, X_λとなるものが取れる． そこで

f(λ) := Y_λ　(Y_λが有限集合のとき)
f(λ) := X_λ＼Y_λ　(Y_λが無限集合のとき)

とすればよい．