定義 集合族Aに対し∩A := ∩_B∈A B, ∪A := ∪_B∈A B と書く．

定義 (X, O)を位相空間とする．

1. x∈XがA⊂Xの完全集積点(complete accumulation point)
   ⇔ xの任意の開近傍Uに対し |A| = |A∩U|．
2. XがAlexandroff-Urysohn-コンパクト
   ⇔ Xの無限部分集合は完全集積点を持つ．
3. XがTychonoff-コンパクト ⇔ Xが閉区間[0, 1]の直積空間の閉部分空間と同相

定理1 以下の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. コンパクト ⇒ Alexandroff-Urysohn-コンパクト
3. コンパクト ⇔ Alexandroff-Urysohn-コンパクト
4. Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の有限和は Alexandroff-Urysohn-コンパクト
5. 開集合が有限個の位相空間はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
6. 密着位相空間の有限和はAlexandroff-Urysohn-コンパクト

証明 (1 ⇒ 2) (X, O)をコンパクトとし無限部分集合A⊂Xを取る．Aは完全集積点を持たないと仮定する．すると任意のx∈Xに対しある開近傍 U⊂X が存在して |A| > |A∩U| となる．よって開集合の族 U := { U∈O | |A|>|A∩U| } は開被覆である．XはコンパクトだからあるU₁, …, U_n∈Uが存在して X = U₁∪…∪U_nと書ける．故に A = (A∩U₁)∪…∪(A∩U_n) となる．よって選択公理により|A∩U₁|+…+|A∩U_n| < |A|+…+|A| = |A| であるから|A|≦|A∩U₁|+…+|A∩U_n| < |A|となり矛盾．

選択公理⇔「|A₁| < |A₂|, |B₁| < |B₂| ⇒ |A₁|+|B₁| < |A₂|+|B₂|」である．また|A|+|A|=|A|の証明には選択公理を使う．

(2 ⇒ 5) 開集合が有限個しかない空間はコンパクトだから明らか．

(5 ⇒ 6) 密着位相空間の有限和は開集合が有限個なので明らか．

(6 ⇒ 1) 濃度の比較可能性を示す．A と B を互いに素な無限集合とする．A と B に密着位相をいれ，X := A∪B とする．仮定6より X はAlexandroff-Urysohn-コンパクトとなる．よって X は完全集積点 x∈X を持つ．x∈A としても一般性を失わない．このとき A は x の開近傍だから |X| = |X∩A| = |A|．故に|B|≦|X|=|A|となり，|A|と|B|は比較可能である．

(1 ⇒ 3) 既に(1 ⇒ 2)で示したように「コンパクト⇒Alexandroff-Urysohn-コンパクト」である．よって「Alexandroff-Urysohn-コンパクト⇒コンパクト」を示せばよい．

X をAlexandroff-Urysohn-コンパクトとする．閉集合からなる族 A が有限交差性を持つとする．∩A ≠ ∅ を示せばよい．基数κ := |A| に関する超限帰納法で示す．(選択公理により，Aが整列可能なことに注意する．)

まず，κが有限基数のときは明らかである．なのでκは無限基数であるとする．次の条件を満たすB⊂Fが存在する．

(a) Bは有限交差性を持つ．
(b) (B, ⊃)は整列順序集合である．
(c) ∩B = ∩A

φ: κ→A を全単射とする．α<κに対し，閉集合の族 { φ(β) | β<α }⊂A は有限交差性を持つ．| { φ(β) | β<α } | = |α| <κ だから帰納法の仮定よりF_α := ∩_β<αφ(β)は空でない．そこで B := { F_α | α<κ } と置く．明らかに(a)と(c)が成立する．F∈Bに対しf(F) := min{ α<κ | F_α=F } として f: B→κを定める．f は明らかに単射．U_αの定義よりα₁<α₂<κに対し F_α1⊃F_α2 である．よって f: (B, ⊃)→(κ, ≦)は順序を保つことが分かる．そこで f により B をκの部分順序集合とみなせば，(B, supset)の整列性が分かる．

このとき∩B≠∅を示せばよい．|B|<κのときは帰納法の仮定より成立するので，|B|=κとする．

(B, ⊃)が整列順序だから，F∈Bに対し B(F) := { G∈B | F ⊋ G } ⊂ B は最小元(即ち⊂についての最大元)を持つ．それを S(F) と置く．明らかに F ⊋ S(F) である．そこで集合族 { F＼S(F) }_F∈B に選択公理を適用して選択関数 g: B→∪(F＼S(F))⊂X を得る．Y := g(B) と置く．|Y| = |B| = κ は無限基数だから，Y は完全集積点 x∈X を持つ． 任意の F∈B に対し x∈cl(F) である．

x の開近傍 U⊂X に対し |g^-1(Y∩U)| = |Y∩U| = |Y| = κ だから，g^-1(Y∩U)⊂B は非有界部分集合である．故に F ⊋ G となる G∈g^-1(Y∩U) が存在する．このとき g(G)∈Y∩U⊂U だから g(G)∈U∩(G＼S(G))⊂U∩F，従って U∩F≠∅ となる．

Fは閉集合だから cl(F) = F， よって x∈∩_F∈B cl(F) = ∩B である．

(3 ⇒ 4) 仮定3と「コンパクト空間の有限和がコンパクト」であることから明らか．

(4} ⇒ 6) 密着位相空間はAlexandroff-Urysohn-コンパクトなので明らか．

定理2 以下の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
3. Alexandroff-Urysohn-コンパクト空間の有限直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
4. 開集合が有限個な空間の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
5. 有限離散位相の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
6. 2 := {0, 1} の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト

   ここでは2には離散位相を入れる．

証明 (1 ⇒ 2) 定理1の3(コンパクト⇔Alexandroff-Urysohn-コンパクト)とTychonoffの定理により明らか．

(2 ⇒ 3) 明らか．

(3 ⇒ 1) 濃度の比較可能性を示す．その為にAとBを任意の無限集合とし，X := A∪B に密着位相を入れる．Xと2は共にAlexandroff-Urysohn-コンパクトだから，仮定3によりX×2もAlexandroff-Urysohn-コンパクトとなる．よって部分集合 C := (A×{0})∪(B×{1}) ⊂ X×2 は完全集積点(x, y)を持つ．y=0としても一般性を失わない．すると X×{0} は(x, 0)の開近傍だから |C| = |C∩(X×{0})| となる．従って |A| = |A×{0}| = |C∩(X×{0})| = |C| = |A∪B| ≧ |B|．

(1 ⇒ 4) 定理1の5より，開集合が有限個の空間はAlexandroff-Urysohn-コンパクトである． よって既に同値性が示された条件2により4が分かる．

4⇒5 と 5⇒6 は明らか．

(6 ⇒ 1) 濃度の比較可能性を示す．その為にAとBを任意の無限集合とし，AにもBにも含まれない元 ∞∉A∪B を用意する．X := A∪B∪{∞} と置き，直積2^Xを考える．仮定6より 2^X はAlexandroff-Urysohn-コンパクトである．部分集合 Y⊂X の特性関数を χ_Y∈2^X と表す．即ち

x ∉ Y のとき　χ_Y(x) = 0
x∈Y のとき　χ_Y(x) = 1

である．C := { χ_{a} | a∈A }, D := { χ_{{a, ∞}} | a∈B } と書く．C∪D⊂2^Xは無限集合であるから，完全集積点 f∈2^X を持つ．

(i) f(∞)=0のとき
U := { g∈2^X | g(∞)=0 }⊂2^X は f の開近傍だから |C∪D| = |(C∪D)∩U| が成り立つ．故に |B| = |D| ≦ |C∪D| = |(C∪D)∩U| = |C| = |A|．

(ii) f(∞)=1のとき
U := { g∈2^X | g(∞)=1 }⊂2^X は f の開近傍だから |C∪D| = |(C∪D)∩U| が成り立つ．故に |A| = |C| ≦ |C∪D| = |(C∪D)∩U| = |D| = |B|．

(i)(ii)より |A| と |B| は比較可能である．

定理3 以下の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. Tychonoff-コンパクト空間はAlexandroff-Urysohn-コンパクト
3. [0, 1]の直積はAlexandroff-Urysohn-コンパクト

証明 (1 ⇒ 2) XをTychonoff-コンパクト空間とする．X は [0, 1]^Λ の閉部分空間とみなしてよい．選択公理と同値なTychonoffの定理により[0, 1]^Λ はコンパクトとなる．よってコンパクト空間の閉部分空間であるXもコンパクトである．定理1の2 (コンパクト⇒Alexandroff-Urysohn-コンパクト) によりXはAlexandroff-Urysohn-コンパクトである．

(2 ⇒ 3) [0, 1]^ΛはTychonoff-コンパクトだから明らか．

(3 ⇒ 1) 濃度の比較可能性を示す．その為にAとBを任意の無限集合とし，AにもBにも含まれない元 ∞ ∉ A∪B を用意する．X := A∪B∪{∞} と置き，直積[0, 1]^Xを考える．仮定3より [0, 1]^X はAlexandroff-Urysohn-コンパクトである．部分集合 Y⊂X の特性関数をχ_Y∈[0, 1]^Xと表す．即ち

x ∉ Y のとき　χ_Y(x) = 0
x∈Y のとき　χ_Y(x) = 1

である．C := { χ_{a} | a∈A }, D := { χ_{{a, ∞}} | a∈B } と書く．C∪D⊂[0, 1]^X は無限集合であるから，完全集積点 f∈[0, 1]^X を持つ．

(i) f(∞)≦1/2 のとき
U := { g∈[0, 1]^X | 0≦g(∞)<2/3 }⊂[0, 1]^X は f の開近傍だから|C∪D| = |(C∪D)∩U| が成り立つ．故に |B| = |D| ≦ |C∪D| = |(C∪D)∩U| = |C| = |A|．

(ii) f(∞)>1/2 のとき
U := { g∈[0, 1]^X | 1/2<g(∞)≦1 }⊂[0, 1]^X は f の開近傍だから |C∪D| = |(C∪D)∩U| が成り立つ．故に |A| = |C| ≦ |C∪D| = |(C∪D)∩U| = |D| = |B|．

(i)(ii)より |A| と |B| は比較可能である．