背理法は結論を否定して矛盾を導く物、だと思ってました。 「結論を否定すると...」という文を良く見るし。
結論を否定する、というのは「P⇒Q(PならばQ)」を証明するときに￢Q(Qでない)を仮定するということ。これを背理法だと思ってた。けど、これだと例えば「πは無理数である」とか、⇒が使われていない命題の時はどうする？俺は「x=π⇒xは無理数」とか無理やり解釈してたけど。
本当は背理法は命題Pを証明するときはPを否定するんだって。 つまり「P⇒Q」を証明するときは「P⇒Q」自体を否定する。 「P⇒Q」は「￢P∨Q(Pでない、またはQ)」と同値だから、 「P⇒Q」の否定は「P∧￢Q(P、かつQでない)」になる。 つまり、「P⇒Q」を証明するときはもうPは仮定されてるから￢Qを仮定すると「P⇒Q」を否定した事になるんだね。と言うわけで背理法では結論を否定すればOK。
これ書いてて、"「P⇒Q」は「￢P∨Q(Pでない、またはQ)」と同値だから"が上手く説明出来ない事に気付いた。どう説明すればいいんだ？難しいな。肝心な部分なのに。
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コメント
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匿名 | 2012年4月11日 02:06
だいぶ前の記事ですが、コメントさせてください
"「P⇒Q」は「￢P∨Q(Pでない、またはQ)」と同値だから"
についてですが、"「P⇒Q」の否定は「P∧￢Q(P、かつQでない)」になる"
の説明については、高校レベルでは、
「P(x)→Q(x)は偽である」⇔「反例が存在する」
⇔「P(x)は満たし、Q(x)は満たさないxが存在する」で良いと思います。ですので、
"「P⇒Q」は「￢P∨Q(Pでない、またはQ)」と同値だから"
についての説明は高校レベルでは不要だと思います。 -
sk | 2012年4月12日 22:09
真理値表を書いて説明するのが手っ取り早いのではないでしょうか。
Pが真かつQが真のとき、Pが真かつQが偽のとき、Pが偽かつQが真のとき、Pが偽かつQが偽のときの全4パターンにおいて「P⇒Q」と「PでないまたはQ」の真偽が一致しているので────という風に。 -
1 | 2012年4月13日 22:49
>>2
何に対して、より手っ取り早いと言っているのでしょうか？その、「「P⇒Q」と「PでないまたはQ」の真偽が一致している」
という説明は不要だというのが
>>1
のミソです。それでも
"「P⇒Q」は「￢P∨Q(Pでない、またはQ)」と同値"であることの
理由を不要ながらも知りたいというのなら、>>2の考えに拠れば良いでしょう。