Lebesgue非可測集合の存在

証明

R/Qを考える．

R上の同値関係～を
x～y ⇔ x-y∈Q
で定義する．この時 R/Q := R/～である．

R/Q の元は R の部分集合である．同値類の性質より，これらの元は互いに交わらない．よって選択公理により各元 A∈R/Q から1つずつ実数 x(A) を選べる．この時，A∩[0, 1]≠∅ だから，x(A)∈[0, 1] となるように選ぶことができる．

正確に言えば，集合 X := { [0, 1]∩A | A∈R/Q } に選択公理を適用するということ．

V := { x(A) | A∈R/Q } とおく．x(A)の選び方によりV⊂[0, 1]．

VがLebesgue可測だと仮定する．正整数 k に対し V_k := V + 1/k と置く． Lebesgue測度の性質によりμ(V)=μ(V_k)．また，k≠lならばV_k∩V_l = ∅ である．

x∈V_k∩V_l とするとある実数 y, z∈V が有って x = y+1/k = z+1/l．よってy-z∈QだからVの定義より y=z，よって 1/k = 1/l である．即ち k=l．

また，明らかに V_k⊂[0, 2] である．故に正整数 n に対し
nμ(V) = Σ_{k=1}^n μ(V_k) = μ(∪_{k=1}^n V_k)≦μ([0, 2]) = 2.
nはいくらでも大きく取れるからμ(V)=0でなければならない．

さて，Vの定義より R=∪_{q∈Q}(V+q) (disjoint union) と書けるが，Qは可算集合だから
∞ = μ(R) = μ(∪_q (V+q)) = Σ_q μ(V+q) = Σ0 = 0
となり矛盾する．故にVはLebesgue非可測である．