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命題と定理の違い

数学の授業を受けていて思う。命題と定理の違いがよくわからない。

定義・定理・公理の違いは分かる。補題もまあ分からなくない。

とりあえず広辞苑にはこう載っている。

命題
真偽を判定することのできる文。また、その内容。
定理
すでに真なりと証明された一般的命題。公理または定義を基礎として真であると証明された理論的命題

なるほど。広辞苑の意味的には違いは分かる。定理というのは命題の一部で、 命題は別に真でなくても良いのか。真偽が判定できれば。

でもそんなの関係ない。広辞苑的にはこうだけど、授業的には定理＝命題としか思えなくて。 先生によるのかもしれないが、俺が教わっている先生はどうみても「命題」と書いたときは真であると証明された命題を書いている。 しかも、一回黒板に「定理」と書いて「あ、これは命題にしとこう」と言って「命題」に書き換えたのを見たこともある。

結局、友達と話し合って、定理と命題の使い分けは「先生の気分」という結論になった。 誰か違い知ってたら教えてくれ。

何となくYahoo!の辞書で調べてみたらびっくりした。もう定理＝命題でいいですか？

一応適当な説明

定義
決めたこと。決めた事なので証明とかはない。例：2で割り切れる整数を偶数と言う。
定理
定義・公理から導き出される(証明される)事。証明される事なので当然証明がある。例：偶数×奇数＝偶数
公理
成り立つ、と決めた事。例：点Aと、点Aを通らない直線Lがある時、Aを通りLと平行な直線はただ１つ引ける(下図)。勝手に決めた事なので、成り立たないとしても問題ない。 実際に、先の例は普通の平面では明らかに成り立つけれど、コレが成り立たないとする数学も存在する。

Aを通るLと平行な線(赤い直線)が１つだけ引ける
補題
定理を証明するために前もって証明する定理。例：ツォルンの補題とか？ 分かりやすい補題は例が浮かばない。 というか名前付けるほどの物なら定理でいいんじゃないかと思うんだけど。
(08/04/15追記)ガウスの補題と言うのがある。代数で習います。というかツォルンの補題って公理なのかｗ選択公理と同値らしい。

ちなみに、「なんで1+1=2なの？」「なんで割り算は逆数を掛ければいいの？」「なんで1=0.99999……なの？」とかよく質問をみるけど、 こういうのは全部定義みたいなもんだから証明しろって言われても正直困る。