ここでは環に乗法単位元1の存在を仮定しない．1を含む環を単位的環と呼ぶ．

定義 {S_λ}_λ∈Λを環の族として． R⊂Π_λ∈Λ S_λを部分環とする． 任意のλ∈Λに対して標準射影π_λ: R→S_λが 全射であるとき，Rを {S_λ} のsubdirect productという．

あるλ∈Λについてπ_λが同型となるとき，自明なsubdirect productという．

以下，subdirect productを部分直積と訳すことにする．

定義 環Rがsubdirectly irreducible
⇔ Rを部分直積として表したとき，それが常に自明な部分直積になる．

以下，subdirectly irreducibleを部分直既約と訳すことにする．

命題1 {S_λ}_λ∈Λを環の族とするとき
Rが{S_λ}の部分直積である
⇔ Rの(両側)イデアルの族 {I_λ}_λ∈Λが存在して R/I_λ ≅ S_λ かつ ∩_λ∈Λ I_λ=0 となる．

証明(⇒) I_λ := kerπ_λ とすればよい．

(←) φ: R→Π_λ∈Λ R/I_λ を φ(r) := (r+I_λ)_λ∈Λで定める． ker(φ)=∩_λ∈ΛI_λ=0だからφは単射． そこでφと同型R/I_λ ≅ S_λにより RをΠ_λ∈ΛS_λの部分環とみなす． このときπ_λは自然な全射 R→R/I_λと一致するから，明らかに全射である． 故に，Rは {S_λ} の部分直積である．

命題2 環Rに対し A(R) := { I⊂R | Iは零でないイデアル }, H(R) := ∩_I∈A(R) I と置く．H(R) は R のイデアルである．このとき
Rが部分直既約 ⇔ H(R)≠0．

証明(⇒) H(R)=0とする．このとき命題1により Rは { R/I }_I∈A(R) の部分直積である． 明らかに標準射影 π_I: R→R/I は同型でないから， この部分直積は自明でない．故にRは部分直既約でない．

(←) R⊂Π_λ∈ΛS_λを部分直積とすると， 命題1によりイデアルの族 { I_λ }_λ∈Λが存在して R/I_λ ≅ S_λ, ∩_λ∈Λ I_λ=0となる． 今仮定からH(R)≠0だから，∩_λ∈Λ I_λ=0となる為には あるλ∈Λに対してI_λ=0でなければならない． このときπ_λ: R→S_λは全射である．

補題3 部分直既約な単位的可換環は極大イデアルを持つ．

証明Rを部分直既約な単位的可換環としてH:=H(R)と書く． 命題2によりH≠0である． Ann(H) := { r∈R | 任意のh∈Hに対しrh=0 } ⊂R が極大イデアルであることを示せばよい．

その為に Ann(H) ⊊ I⊂R をイデアルとする．x∈I＼Ann(H) を一つ取る．x ∉ Ann(H) だから，ある h₀∈H が存在してxh₀≠0 となる．故に h₀I⊂R は零でないイデアル．Hの定義からH⊂h₀I，故にある y∈I が存在して h₀ =h₀y と書ける．このとき h₀(1-y) = 0 だから 1-y は零因子である．よってAnn(1-y) := { r∈R | r(1-y)=0 } は零でないイデアル．従ってHの定義からH⊂Ann(1-y)となる．即ち任意の h∈H に対して h(1-y) = 0 だから 1-y∈Ann(H)⊂Iである．従って 1 = (1-y)+y∈I だから，I=Rである．

定理次の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. 任意の環は部分直既約な環の部分直積である．
3. 任意の一意分解整域は部分直既約な環の部分直積である．
4. 任意の環Rに対して，ある部分直既約な環S≠0と全射環準同型R→Sが存在する．
5. 任意の一意分解整域Dに対して，ある部分直既約な環S≠0と全射環準同型D→Sが存在する．

証明(1 ⇒ 2) Rを環とする．r∈R＼{0} に対し X_r := { I⊂R | Iはイデアル，r ∉ I }, Y_r := { I∈X_r | Iは(X_r, ⊂)の極大元 } と置くとZornの補題によりY_r≠ ∅ である．

0∈X_rだからX_r≠∅． C⊂X_r を部分全順序集合とする． I := ∪_J∈C J と置けば I⊂R はイデアルである． 全ての J∈C について r ∉ J だから r ∉ I． 従って I∈X_r である．よってCは上界を持つ．

故に選択公理により { Y_r }_r∈R＼{0} の選択関数 f が存在する．このときY_rの定義から∩_r∈R＼{0} f(r)=0 となる． 故に命題1により，R は { R/f(r) }_r∈R＼{0} の部分直積である． また各 r∈R＼{0} について R/f(r) は部分直既約となる．

f(r)⊂R は極大イデアルだから，A(R/f(r)) = ∅．故に H(R/f(r))≠0 なので命題2により R/f(r) は部分直既約である．

従ってRは部分直既約な環の部分直積である．

(2 ⇒ 3) 明らか．

(2 ⇒ 4) R を環とする．仮定2によりある部分直既約な環の族 { S_λ }_λ∈Λ が存在してR は { S_λ }_λ∈Λ の部分直積である．このときλ∈Λを一つ取ると標準射影π_λ∈Λ: R→S_λは全射である．

(3 ⇒ 5) 2 ⇒ 4と同様．

(4 ⇒ 5) 明らか．

(5 ⇒ 1) 任意の一意分解整域Dが極大イデアルを持つ事を示せばよい．

環の極大イデアルの存在を参照．

仮定により，部分直既約な環 S≠0 と全射環準同型φ: D→S が存在する．φが全射だからSは単位的可換環である． 故に補題3により S は極大イデアル m を持つ． このとき φ^-1(m)⊂D がDの極大イデアルとなる．