可換環論において，次の命題はよく知られている．

命題 (1を含む)可換環Rについて次の条件は同値． (この条件を満たす可換環RをNoether環という．)

1. Rのイデアルからなる非空集合は極大元をもつ．(極大条件)
2. Rの任意のイデアルは有限生成である．
3. Rのイデアルの上昇列I₀⊂I₁⊂I₂⊂…に対して，ある番号nが存在してI_n=I_n+1=I_n+2=…となる．(昇鎖条件)

証明 (1 ⇒ 2) IをRのイデアルとする．X := { J⊂I | JはRの有限生成イデアル } とおく．明らかに{0}∈XだからX≠∅．故に仮定1により極大元J∈Xが存在する．J≠Iと仮定する．x∈I＼Jを取り J' := J+(x) と置けば，明らかに J' は有限生成で J ⊊ J'⊂I となるから J の極大性に矛盾する．従って J=I であり，Iは有限生成となる．

(2 ⇒ 3) I₀⊂I₁⊂I₂⊂…をイデアルの上昇列とする．J := ∪_n=0^∞I_n もRのイデアルとなる．故に仮定2からJは有限個の元x₀, …, x_m∈Jで生成される．Jの定義から，各0≦i≦mについてx_i∈I_{n_i}となる番号n_iが存在する．このとき n = max{ n₀, …, n_m } と置けばI_m=I_m+1=…=Jである．

(3 ⇒ 1) イデアルの集合Xが極大元を持たないとする．I₀∈Xを一つ取る．これがXの極大元でないから，ある I₁∈X が存在して I₀ ⊊ I₁ となる．これを繰り返して無限上昇列 I₀ ⊊ I₁ ⊊ I₂ ⊊ …を得る．

この3 ⇒ 1の証明は選択公理を使っている．それは I_n に対して I_n ⊊ I_n+1となるような I_n+1∈X を取るところである．

[Hodges]によると，ZFでは「任意のイデアルが有限生成な，極大イデアルを持たない整域が存在する」「イデアルの昇鎖条件を満たす，有限生成でないイデアルを持つような可換環が存在する」としても矛盾しない．即ち，3⇒2 と 2⇒1 はZFでは証明できない．

更に，ZFCでは次の条件も同値であるが，この証明にも選択公理を使う．

命題 Rの任意のイデアルは有限生成 ⇔ Rの任意の素イデアルは有限生成

証明(⇒) 明らか．

(⇔) 有限生成でないイデアルが存在すると仮定する．X := { I⊂R | Iは有限生成でないイデアル } と置けば，X≠∅となる．XにZornの補題を適用して，Xの極大元Iの存在が分かる．Iは有限生成で無いから，仮定により素イデアルでない．従ってあるx, y∈Rが存在してx, y∉ I, xy∈Iとなる．J:=I+(y)とすればJはイデアルでI⊊ Jだから，I∈Xの極大性によりJは有限生成である．故にあるu₀, …, u_n∈Iが存在してJ=(u₀, …, u_n, y)と書ける．一方，I:y := { r∈R | ry∈I } と置けば，これもイデアルで I ⊊ I:y となるから，あるv₀, …, v_n∈I:y が存在して I:y=(v₀, …, v_m) と書ける．このとき I=(u₀, …, u_n, v₀y, …, v_my) である．

故にIが有限生成となり矛盾する．

再び[Hodges]によれば「Rの任意の素イデアルは有限生成である⇒2」はZFでは証明できないことが知られている．最後に，一般に以下のような事実が知られているので紹介する．

定義Xを集合，R⊂X× Xを二項関係とする．

1. x∈XがRに関する極大元である
   ⇔ 任意のy∈Xについて「xRy⇒yRx」となる．
2. Rが昇鎖条件(Ascending Chain Condition)を満たす
   ⇔ 任意の上昇列は有限で止まる．即ち，列 { x_n }_n=0^∞がx₀Rx₁Rx₂R…を満たすならば，ある番号nが存在してx_n=x_n+1=x_n+2=…となる．
3. Rが極大条件(Maximal Condition)を満たす
   ⇔ 任意の空でない部分集合Y⊂XがRに関する極大元を持つ．

定義 次の命題を従属選択公理(Axiom of Dependent Choice)という．
非空集合X上の二項関係 R⊂X×X が

任意のx∈Xに対してあるy∈Xが存在してxRy

を満たすとき，Xのある点列{x_n}_n=0^∞が存在して任意のnに対してx_nRx_n+1となる．(詳しくは従属選択公理についてを参照)

定理 次の命題は(ZF上)同値．

1. 従属選択公理
2. 二項関係Rが昇鎖条件を満たすならば，Rは極大条件を満たす．
3. 順序関係Rが昇鎖条件を満たすならば，Rは極大条件を満たす．

証明 (1 ⇒ 2) Rが極大条件を満たさないとすると，極大元を持たないY(≠∅)⊂Xが存在する．Yが極大元を持たないから，任意のx∈Yに対してあるy∈Yが存在してxRyかつ￢yRxである．即ちYの二項関係 S := R|_Y＼{ (y, y)∈Y×Y | y∈Y } は従属選択公理の仮定を満たすからある列 { y_n }_n=0^∞が存在してy₀Sy₁Sy₂S…である．Sの定義から，任意のnに対してy_n≠y_n+1である．S⊂Rだから，{ y_n }_n=0^∞はRの無限上昇列である．

(2 ⇒ 3) 明らか．

(3 ⇒ 1) Xを集合，R⊂X×Xを二項関係で「任意のx∈Xに対してあるy∈Xが存在してxRy」を満たすものとする．あるx∈Xに対してxRxだとするとxRxRxR…が条件を満たすから，任意のx∈Xに対して￢xRxとする．

S⊂X×XをRの推移閉包とする．即ち

xSy ⇔ あるn∈N とc₀, …, c_n∈Xが存在して x=c₀Rc₁R… Rc_{n-1}Rc_n=y

である．このとき≦ := S∪{ (x, x)∈X×X | x∈X } と置けば≦はXの順序関係である．

≦の定義により「任意のx∈Xに対してあるy∈Xが存在してx<y」が成り立つ． 故に(X, ≦)は極大元を持たない． 従って仮定3により≦は昇鎖条件を満たさない． 従属選択公理から可算選択公理が従う(従属選択公理についてを参照)から，後で示す補題によりRも昇鎖条件を満たさない．よって無限上昇列x₀Rx₁Rx₂R…が存在する．

補題 可算選択公理
⇔ Rが昇鎖条件を満たすならば，Rの推移閉包Sも昇鎖条件を満たす．

証明(⇒) Sの無限上昇列x₀Sx₁Sx₂S…が存在したとする． n≧0に対して S_n := { (c₀, …, c_k) | k∈N, x_n=c₀Rc₁R…Rc_{k-1}Rc_k=x_n+1 } と置けば x_nSx_n+1の定義によりS_n≠∅である． 従って可算選択公理により元 ( s_n )_n=0^∞∈Π_n=0^∞S_nを得る． s_n = (c_0(n), …, c_{k_n}_(n)) と書けば c₀₍₀₎Rc₁₍₀₎R… c_{k₀-1}₍₀₎Rc₀₍₁₎R…はRの無限上昇列である．

(←) { X_n }_n=0^∞を互いに素な非空集合の族とする． 二項関係Rを

R :={ ((n, 2n), (n, 2n+1, x)) | n∈N, x∈X_n }
　　∪{ ((n, 2n+1, x), (n+1, 2n+2)) | n∈N, x∈X_n }

で定める．Rの推移閉包Sは明らかに無限上昇列((n, 2n))_n=0^∞を持つ．よってSは昇鎖条件を満たさない．従って仮定によりRも昇鎖条件を満たさない．

Rの無限上昇列をc₀Rc₁Rc₂R…とする．Rの定義からc₀=(k, 2k)またはc₀=(k, 2k+1, x)と書ける．c₀=(k, 2k)としてよい．このときRの定義から

c_2i=(k+i, 2k+2i), c_2i+1=(k+i, 2k+2i+1, x_i)　(x_i∈X_i)

と書ける．よって，x₀∈X₀, …, x_i-1∈X_i-1を任意に取れば(x_n)_n=0^∞∈Π_n=0^∞X_nである．