定理 次の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. 下降Löwenheim-Skolemの定理
3. 一階論理式 φ が濃度 κ のモデルを持つとする． ₀≦μ≦κ ならば φ は濃度 μ のモデルを持つ．
4. 上昇Löwenheim-Skolemの定理
5. 一階論理式 φ が濃度 κ のモデルを持つとする． μ≧κ ならば φ は濃度 μ のモデルを持つ．

証明 (1 ⇒ 2)略．

(2 ⇒ 3)自明．

(3 ⇒ 1)任意の濃度 μ≧₀ に対して μ²=μ を示せばよい． R を三変数関係記号として， φ を次の一階論理式とする．

(∀x∀y∃zR(x, y, z))
∧(∀x∀y∀z∀u∀v∀w[(R(x, y, z)∧R(u, v, w))→(z=u←→(x=v∧y=w))])

「 (A, R) が φ のモデルである ⇔ Rは単射 A×A→A である」が成り立つ．故に (A, R) が φ のモデルならば |A|² = |A| である． μ≧₀ を濃度とする． κ:=2^μ・₀ と置けば

κ²=(2^μ・₀)²=2^{μ・₀\・2}=2^μ\・₀=κ

だから|A| =κ となるモデル (A, R) が存在する． ₀≦μ≦κ だから，仮定3により濃度 μ のモデルが存在する．よって μ²=μ である．

(1 ⇒ 4)略．

(4 ⇒ 5)自明．

(5 ⇒ 1) 3⇒1 と同じ φ を考える． φ は明らかに可算モデルを持つ．よって任意の μ≧₀ に対して濃度 μ のモデルが存在し， μ²=μ である．