定義 S を集合とする．写像 Cn: P(S)→P(S) が S 上のconsequence operationとは以下の条件を満たすことを言う:

1. X∈P(S) に対して X⊂Cn(X) である．
2. Cn² = Cn である．
3. X, Y∈P(S) について，X⊂Y ならば Cn(X)⊂Cn(Y) である．
4. X∈P(S) とする．任意の x∈Cn(X) に対してある有限部分集合 Y⊂X が存在して x∈Cn(Y) となる．

集合 S と S 上のconsequence operation Cn の組 <S, Cn> をsystemと呼ぶ．

定義 <S, Cn> をsystemで X∈P(S)，x∈S とする．

1. X が矛盾する ⇔ Cn(X)=S．
2. X が無矛盾 ⇔ X が矛盾しない．
3. X が理論 ⇔ Cn(X)=X．
4. X が極大理論 ⇔ X が無矛盾な理論で，任意の Y⊋X が矛盾する．
5. X が x-飽和 ⇔ x∉Cn(X) で，任意の y∉X に対して x∈Cn(X∪{y})．
6. Cn がコンパクト ⇔ 矛盾する任意の X に対して，矛盾する有限部分集合 Y⊂X が存在する．

定理 選択公理 ⇔ <S, Cn> をsystemとして X∈P(S)，x∈S とする．x∉Cn(X) ならば x-飽和な理論 Y⊃X が存在する．

証明 (⇒) 選択公理により，ある極限順序数 λ を使って S = { x_α | α<λ } と書ける．α≦λに対して X_α を

X_α := X　(α=0 のとき)
X_α := X_β∪{x_β}　(α=β+1, x∉Cn(X_β∪{x_β}) のとき)
X_α := X_β　(α=β+1, x∈Cn(X_β∪{x_β}) のとき)
X_α := ∪_β<αX_β　(αが極限順序数のとき)

で定義する．Y := X_λ が x-飽和な理論であることを示せばよい．

まず Y が理論であることを示すため，Y⊊Cn(Y) と仮定する．x_α∈Cn(Y)＼Y となる α<λ が存在する．x_α∈Cn(Y) だからある有限部分集合 Z⊂Y が存在して x_α∈Cn(Z) となる．Z = { x_β1, …, x_βn }，β₁ < … < β_n と書く．このとき β_n<α である．

よって Z⊂X_α が分かり x_α∈Cn(Z)⊂Cn(X_α) である．従って X_α∪{x_α} ⊂ Cn(X_α) だから

x ∈ Cn(X_α∪{x_α}) ⊂ Cn(Cn(X_α)) = Cn(X_α)

が分かる．よって有限部分集合 W⊂X_α が存在して x∈Cn(W) となる． W = { x_γ1, …, x_γm } ， γ₁ < … < γ_m と書く．W⊂X_α だから γ<α である．また x_γm∈X_α となるので x∉Cn(X_γm∪{x_γm}) でなければならない．しかし W⊂X_γm∪{x_γm} だから x∈Cn(W)⊂Cn(X_γm∪{x_γm}) となり矛盾する．以上により Y が理論であることが分かった．

Y が x-飽和であることを示す．まず x∉Cn(Y) を示すため x∈Cn(Y) と仮定する．ある有限部分集合 Z⊂Y が存在して x∈Cn(Z) となる． Z = { x_β1, …, x_βn }， β₁ < … < β_n と書く．x_βn∈Y となる為には x ∉ Cn(X_βn∪{x_βn}) でなければならない．一方 Z⊂X_βn∪{x_βn} だから x∈Cn(Z)⊂Cn(X_βn∪{x_βn}) となり矛盾する．故に x ∉ Cn(Y) である．

後は任意の y ∉ Y に対して x∈Cn(Y∪{y}) を示せばよい． y ∉ Y とする． y = x_α と書けば， x_α ∉ Y = X_λ だから x∈Cn(X_α∪{x_α}) である． X_α∪{x_α} ⊂ Y∪{x_α} より x∈Cn(X∪{x_α}) となる．

( ⇐ ) を互いに素な非空集合の族とする． S := として Cn: P(S)→P(S) を， X∈P(S) に対して

Cn(X) := X　(ある Σ⊂Λ が存在して X が { X_λ }_λ∈Σ の選択集合となるとき)
Cn(X) := S　(そうでないとき)

と定める．Cn は明らかにconsequence operationである．

ある μ∈λ に対して |X_μ| > 1 としてよい． a∈X_μ を一つ取る． Cn(∅) = ∅ だから a ∉ Cn(∅) となる．故に仮定により a-飽和な理論 Y⊃∅ が存在する．Y が理論だから Cn(Y) = Y であり，a-飽和だから Cn(Y)⊊S である．故にある Σ⊂Λ が存在して Y は { X_λ }_λ∈Σ の選択集合となる．

Σ=Λ を示せばよい．その為に Σ⊊Λ と仮定すると λ∈Λ＼Σ が取れる．x∈X_λ を任意にとる(但しλ=μの場合は x≠a としておく)．明らかに Y∪{x} は { X_λ }_{λ∈Σ∪{λ}} の選択集合である．x ∉ Y だから， Y が a-飽和であることより a∈Cn(Y∪{x}) かつ a ∉ Cn(Y) = Y である．従って a ∉ Y∪{x} だから Cn(Y∪{x})≠Y∪{x} が分かる．故に Y∪{x} が { X_λ }_{λ∈Σ∪{λ}} の選択集合であることに矛盾する．

定理 選択公理 ⇔ <S, Cn> をsystemとして Cn がコンパクトなとき，任意の無矛盾な理論 X∈P(S) に対して極大理論 Y⊃X が存在する．

証明 ( ⇒ )省略

( ⇐ ) を互いに素な非空集合の族とする． S := として Cn: P(S)→P(S) を， X∈P(S) に対して

Cn(X) := X　(ある Σ⊂Λ が存在して X が { X_λ }_λ∈Σ の選択集合となるとき)
Cn(X) := S　(そうでないとき)

と定める． Cn は明らかにconsequence operationである．

ある μ∈λ に対して |X_μ| > 1 としてよい．すると Cn は明らかにコンパクトである． Cn(∅) = ∅ だから ∅ は無矛盾な理論であり，よって極大理論 Y⊃∅ が存在する．Y が理論だから Cn(Y) = Y であり，無矛盾だから Cn(Y)⊊S である．故にある Σ⊂Λ が存在して Y は { X_λ }_λ∈Σ の選択集合となる．

Σ=Λ を示せばよい．その為にΣ⊊Λと仮定するとλ∈Λ＼Σが取れる．x∈X_λ を任意にとる．明らかに Y∪{x} は { X_λ }_{λ∈Σ∪{λ}} の選択集合である．x ∉ Y だから，Y が極大理論であることより Cn(Y∪{x}) = S となる．故に Y∪{x} が { X_λ }_{λ∈Σ∪{λ}} の選択集合であることに矛盾する．