解析学において，選択公理が欠かせない定理として有名なのがHahn-Banachの定理である．

定義 関数 f, g と集合 S に対して
f=_Sg ⇔ S⊂dom(f), dom(g) かつ x∈S に対して f(x)=g(x)
f≦_Sg ⇔ S⊂dom(f), dom(g) かつ x∈S に対して f(x)≦g(x)

Hahn-Banachの定理 V を実線型空間， W⊂V を部分空間として， p: V→R を劣線型汎関数とする． f: W→R を線型汎関数とし， f≦_Wp を満たすとする．このとき Z(p, f):= { g: V→R | g=_Wf, g≦_V p } ≠ ∅ である．

証明はZornによるが，実は選択公理より真に弱い超フィルター定理(集合 X 上の任意のフィルターは超フィルターに拡張できる)があれば証明できることが知られている．この証明は，超積を使えば次のように簡単にできる．

定理 超フィルター定理 ⇒ Hahn-Banachの定理

証明 A := { g: V→R: 部分線型汎関数 | W⊂dom(g), g=_Wf, g≦_dom(g)p } とする．任意の x∈V に対して A_x := { g∈A | x∈dom(g) } ≠ ∅ である．また有限個の x₀, …, x_n∈V に対して A_x0∩…∩A_xn≠ ∅ が成り立つ．故に超フィルター定理により， { A_x | x∈X }⊂P(A) を含む A 上の超フィルター U が存在する． ^*R := R^A/U とする． φ: V→^*R を x∈V に対して φ(x) := [ { g(x) }_g∈A] で定める． φ は明らかに線型で，次の二条件を満たす: (i) φ=_Wf (ii) φ≦_Vp ．(ii)より x∈V に対して φ(x) は有限である．よって ψ(x) := st(φ(x))∈Z(p, f) が定義できる．

[黒田]によれば「一般のBanach空間 X において X^* が十分豊富に元を持つ事はHahn-Banachの定理によって保証されている」のであるが，ではもしHahn-Banachが成り立たなければ X^* が豊富に元を持たないようなBanach空間 X が存在するのであろうか．実は以下のことが知られている．

実Banach空間 l^∞ := { { x_n }_n=0^∞∈R^N | sup_n∈N|x_n| < ∞ } と閉部分空間 c₀= { { x_n } ∈l^∞ | lim_n→∞ x_n=0 } ⊂ l^∞ から商Banach空間 l^∞/c₀ が得られる．このとき

命題 (l^∞/c₀)^*≠0 ⇒ Baireの性質を持たない部分集合 A⊂R が存在する．

実は次の定理が成り立つ．[Shelah]

定理 ZF が無矛盾ならば ZF+「任意の A⊂R がBaireの性質を持つ」も無矛盾である．

故に， ZF で (l^∞/c₀)^*≠0 を証明することはできないのである．(即ち，Hahn-Banachが無ければ X^*=0 となるような X が存在しえるのである．)