定義 X を位相空間とする．

1. X が T₃ ⇔ 閉集合 F⊂X と x∈X＼F に対して，開集合 U, V⊂X が存在して x∈U， F⊂V，U∩V= ∅ とできる．
2. X が T_3½ ⇔ 閉集合 F⊂X と x∈X＼F に対して，連続関数 f: X→R が存在して「f(x)=0 かつ任意の y∈F に対して f(y)=1 」とできる．
3. X がTychonoff ⇔ X が T₁ かつ T_3½ ．
4. 一点集合 { x } の閉包を cl(x) と書く．
5. X に同値関係 ～ を x～y ⇔ cl(x)=cl(y) で定義する．商空間 X/～ を X の T₀-reflectionという．
6. X が R₁ ⇔ X の T₀-reflectionがHausdorff．
7. x∈X の開近傍系を O_x として A_x := ∩_U∈OxU と書くことにする．

定義 命題 (R)，(RT)， (CRT)，(CCRT) を以下のように定める．
(R) ⇔ X の任意のコンパクト R₁ 位相 R に対して， X のコンパクトHausdorff位相 T⊃R が存在する．
(RT) ⇔ X の任意のコンパクト R₁ 位相 R に対して， X のコンパクトTychonoff位相 T⊃R が存在する．
(CRT) ⇔ X の任意のコンパクト T₃ 位相 R に対して， X のコンパクトTychonoff位相 T⊃R が存在する．
(CCRT) ⇔ X の任意のコンパクト T_3½ 位相 R に対して， X のコンパクトTychonoff位相 T⊃R が存在する．

命題1 cl(x)⊂cl(y) ⇒ A_x⊃A_y ．特に x～y ⇒ A_x=A_y ．

証明 cl(x) ⊂cl(y) とすると x∈cl(y) である．故に U∈O_x とすれば y∈U でなければならない．従って O_x⊂O_y ，即ち A_x⊃A_y である．

命題2 X を R₁ 空間， x, y∈X とする． x∈U, y ∉ U なる開集合 U⊂X が存在するならば，ある開集合 V, W⊂X が存在して x∈V, y∈W, V∩W= ∅ となる．

証明 開集合 U が x∈U, y ∉ U を満たすとする． X＼U は閉集合で x ∉ X＼U, y∈X＼U となるから cl(x)≠cl(y) である．従って， X/～ を X の T₀-reflectionとして [・] で同値類を表せば [x]≠[y] となる． X が R₁ だから X/～ はHausdorffであり，よって開集合 V', W'⊂X/～ が存在して [x]∈V', [y]∈W', V'∩W'= ∅ とできる． π: X→X/～ を標準全射として V:=π^-1(V'), W:=π^-1(W') とすれば x∈V, y∈W, V∩W= ∅ である．

命題3 X を R₁ 空間とすれば x～y でないならば A_x∩A_y= ∅ である．

証明 命題2より明らか．

命題4 T₃ 空間は R₁ 空間である．

証明 X を T₃ 空間， X/～ を T₀-reflectionとする．異なる2点 [x], [y]∈ X/～ を取る．x～y でないから，開集合 U⊂ X で x∈U，y ∉ U となるものが取れるとしてよい．F := X＼U とすれば x ∉ F，y∈F である．今 X が T₃ だから，ある開集合 V, W⊂X が存在して x∈V， F⊂W， V∩W = ∅ となる．π: X→X/～ を標準全射として V^ := π(V) ， W^ := π(W) とすれば，V^, W^⊂X/～ は開集合で [x]∈V^，[y]∈W^，V^∩W^ = ∅ である．故に X/～ はHausdorff空間だから， X は R₁ 空間であることがわかる．

命題5 コンパクト R₁ 空間は T₃ 空間である．

証明 (X, O) をコンパクト R₁ ， F⊂X を閉集合， x∈X＼F とする． U := { <U, V>∈O² | x∈U, U∩V = ∅ } と置く．命題2により { V | <U, V>∈U } は F の開被覆である． X のコンパクト性により閉集合 F もコンパクトだから，ある <U₁, V₁>, …, <U_n, V_n>∈U が存在して F⊂V₁∪…∪V_n と書ける．このとき U := U₁∩…∩U_n ， V := V₁∩…∩V_n も開集合で x∈U，F⊂V，U∩V= ∅ である．

命題6 選択公理 ⇒(R)

証明 (X, R) をコンパクト R₁ 位相空間とする． A := { A_x | x∈X } と置く．命題3より集合 A⊂P(X) は互いに素な集合の族であるから，選択公理により A の選択集合 C⊂X が存在する． B := X＼C として

S := { V＼Q | V∈R, Q∈P_fin(B) }

と定める． B := S∪P_fin(B) として， B で生成される X の位相を T とする． T⊃R である． (X, T) はHausdorff空間である．

(X, T) がコンパクトであることを示すには「 X の開被覆 U⊂B に対してある U₀, …, U_n∈U が存在して X=U₀∪…∪U_n 」を示せばよい．

そこで U⊂B を X の開被覆とする．

V := { V∈R | ある Q∈P_fin(B) が存在して V＼Q∈U }

とする．任意の x∈X に対してある V∈V が存在して x∈V となる．

即ち V⊂R は X の開被覆だから (X, R) のコンパクト性によりある V₁, …, V_n∈V が存在して X=V₁∪…∪V_n と書ける． V の定義より，各 1≦i≦n に対してある Q_i∈P_fin(B) が存在して U_i := V_i＼Q_i∈U となる． Q := Q₁∪…∪Q_n は有限集合である． U が X の開被覆だから，各 q∈Q に対して q∈U_q∈U となる U_q∈U が取れる．このとき X=∪_i=0ⁿU_i∪∪_q∈QU_q である．

逆 (R)⇒選択公理 が ZF で証明できるかどうかは未解決問題とのこと．

定理 次の命題は(ZF上)同値．

1. 選択公理
2. (RT)
3. (CRT)
4. (CCRT)

証明 (1 ⇒ 2) 選択公理⇒(R) と，選択公理の元で「コンパクトHausdorffならばTychonoff」であることから明らか．

(2 ⇒ 3) T₃ ならば R₁ (命題4)より明らか．

(3 ⇒ 4) 明らか．

(4 ⇒ 1) W を非可算整列順序集合，2 := {0, 1} を離散位相空間として直積空間 A := 2^W を考える． A はコンパクトかつ T_3½ である．

1∈A を定数関数として B := A＼{1} と置く． B は T_3½ である．

B の任意のTychonoffコンパクト化は A と同相であることが分かる．

を互いに素な非空集合の族とする． Y_λ := X_λB とする． B の位相を O_B として， Y_λ の位相 O_λ を

O_B∪ { O⊂Y_λ | Y_λ＼OはBのコンパクト部分集合 }

で生成される位相とする．

このとき各 (Y_λ, O_λ) は T_3½ であることが分かる．

Y := Σ_λ∈ΛY_λ を直和空間として (Z, O_Z) を Y の一点コンパクト化とする． Z はコンパクト T_3½ である．故に (CCRT) により， Z のコンパクトTychonoff位相 T⊃O_Z が存在する．このとき部分位相 (Y_λ, T|_Yλ) はコンパクトTychonoffで， B⊂(Y_λ, T|_Yλ) の閉包 B_λ は B のTychonoffコンパクト化である．故にこれは A と同相で，特に B_λ＼B= { x_λ } (x_λ∈X_λ) となる．これにより (x_λ)∈である．

命題 (X, O_X) をHausdorff空間とする． Y を集合， f: Y→X を全射として Y の位相 O_Y を f により誘導されるものとすれば (Y, O_Y) は R₁ である．

証明 Y の同値関係を y～_fy' ⇔ f(y)=f(y') で定めれば ～ = ～_f である．

故に (Y, O_Y) の T₀-reflectionは Y/～ ≅ X であり，Hausdorffである．

命題 (R)⇒非空有限集合の族は選択関数を持つ．

証明 を非空有限集合の族とする． R∩= ∅ としてよい． T を区間 [0, 1) の通常の位相として， Y_λ := [0, 1)∪X_λ に T∪ { (x, 1)∪X_λ|0 < x < 1 } で生成される位相 R_λ を入れる． (Y_λ, R_λ) は明らかにコンパクト R₁ 空間である．

直和 Y := Σ_λ∈ΛY_λ の，Alexandroff一点コンパクト化 (Y', R) を考える． (Y', R) は明らかにコンパクト R₁ 空間である．故に (R) により Y' のコンパクトHausdorff位相 O⊃R が存在する． (Y_λ, O|_Yλ) はコンパクトHausdorff空間である．

部分空間 I := [0, 1)⊂(Y_λ, O|_Yλ) の位相は通常の位相と一致する．

A_λ を [0, 1)⊂(Y_λ, O|_Yλ) の閉包として B_λ := A_λ∩X_λ とする． [0, 1)⊂Y_λ はコンパクトでないから閉でない．故に B_λ≠ ∅ となる． λ∈Λ に対して |B_λ|=1 である．

よって B_λ:= { b_λ } とすれば (b_λ)_λ∈Λ∈である．

定理 (R) に次の命題を加えると選択公理と(ZF上)同値になる．

1. P(R) は整列可能．
2. R は整列可能．
3. Nの非単項超フィルターが存在する．
4. ある無限集合 A と A の非単項超フィルターが存在する．

証明 選択公理⇒1，1⇒2，2⇒3，3⇒4と「4かつ(R)⇒選択公理」を示せばよい．選択公理⇒1と1⇒2と3⇒4は明らか．

(2 ⇒ 3) R が整列可能だから 2^N が整列可能．これを使って超フィルター F⊂2^N を構成することが出来る．

(4かつ(R) ⇒ 選択公理) { X_λ }_λ∈Λ を互いに素な非空集合の族とする．仮定によりある無限集合 A と非単項超フィルター F⊂P(A) が存在する． A∩() = ∅ としてよい．

λ∈Λ とする． Y_λ := X_λ∪A の位相を

O_λ := { B⊂Y_λ | B⊂Aまたは「X_λ＼B⊂Aかつ|X_λ＼B| < ∞」 }

で定める．直和 Y := Σ_λ∈Λ(Y_λ, O_λ) の一点コンパクト化を (Z, R) とする． (Z, R) はコンパクト R₁ 空間である．故に仮定 (R) により Z のコンパクトHausdorff位相 T⊃R が存在する．このとき R_λ := R|_Xλ と定める． F_λ⊂P(Y_λ) を F で生成される超フィルターとすれば F_λ は (X_λ, R_λ) で唯一つの収束点 x_λ を持つ．

これにより (x_λ)_λ∈Λ∈Π_λ∈ΛX_λ を取ることができる．