選択公理の下では，基数全体がなすクラスは「整列」されているのであった．では選択公理がなかった場合はどうなるのであろうか? 実は「任意の順序が実現されうる」のである．

定理 (I, ≦) を順序集合とする． ZF において次の命題を仮定しても矛盾しない: ある集合 { S_i | i∈I } が存在して， i, j∈I に対して「 i≦j ⇔ |S_i|≦|S_j| 」となる．

証明 permutationモデルを構成する． (I, ≦)∈R_∞(∅) を順序集合とする．単射 I∋i |→ { j∈I | j≦i } ∈P(I) により (I, ≦) は (P(I), ⊂) に埋め込まれるから，(P(I), ⊂) に対して主張を証明すればよい．

|A| = |I|・₀ と仮定し， A = { a_in | i∈I, n∈ω } と書く． p⊂I に対して S_p = { a_in | i∈p, n∈ω } と置く．以下を満たすpermutationモデル V を構成すればよい．

• { S_p | p⊂I } ∈V ．
• 関数 h を h(p) := S_p で定義すると h∈V ．
• p⊂q ⇔ |S_p|≦|S_q| ．

G := { g∈Aut(A) | 任意の i∈I に対して g(S_{i}) = S_{i} } としてnormalイデアル P_fin(A)⊂P(A) から定まるpermutationモデルを V とする．

まず任意の g∈G に対して g(S_p)=S_p だから sym(S_p)=G，sym(h)=h である．よって { S_p | p⊂I } ∈V，h∈V である．

また p⊂q ならば S_p⊂S_q だから |S_p|≦|S_q| となる．

p⊂qでない，かつ |S_p|≦|S_q| と仮定する．単射 f: S_p→S_q で f∈V となるものを取る．ある E∈P_fin(A) が存在して fix(E)⊂sym(f) となる． i∈p＼q を取り， m≠n を a_im, a_in ∉ E となるように取る．g∈G を

g(a_ik) := a_in　(k=mのとき)
g(a_ik) := a_im　(k=nのとき)
g(a_ik) := a_ik　(それ以外のとき)

で定義すると g∈fix(E)⊂sym(f) だから g(f)=f となる．

f(a_im)∈S_q だから， f(a_im)=a_jl と書けば j∈q となり j≠i なので g(a_jl)=a_jlである．一方，

f(a_in) = f(g(a_im)) = g(f)(g(a_im)) = f(a_im) = a_jl

となるから f が単射であることに矛盾する．