命題選択公理を仮定する．任意の体kに対し代数閉包k^alg/kが一意に存在する．

証明まず存在を示す． A := { f∈k[x] | fは既約多項式，最高次係数は1 } と置く． 各 f∈A に対し n_f := deg(f) 個の不定元 x₁^(f), …, x_nf^(f) を用意し， X := { x_i^(f) | f∈A, 1≦i≦n_f } とする． g_f(x) := (x-x₁^(f))…(x-x_nf^(f))-f(x)∈k[X][x]を展開して

g_f(x) = a_nf-1^(f)x^n_f-1+…+a₁^(f)x+a₀^(f)　(a_i^(f)∈k[x₁^(f), …, x_nf^(f)])

と表す．{ a_i^(f) | f∈A, 0≦i≦n_f-1 } で生成されるイデアルを I とする． I⊂k[X]は真のイデアルである．

故に選択公理よりI⊂m ⊊ k[X]なる極大イデアル m が存在する． k^alg := k[X]/mと置く． k^alg は自然に k の拡大体とみなせる． 明らかに k^alg/k は代数拡大である．

k^alg が代数閉体でないと仮定する． 2次以上の既約多項式 f∈k^alg[x] が存在する． L := k^alg[x]/(f) と置けば L/k^alg は有限次拡大で f の根 α∈L を含む．勿論αは k^alg上代数的で， 故に k上代数的でもある．従って g(α)=0 となる多項式 g∈k[x] が存在する． このとき g は k^alg[x] で完全に分解するから α∈k^alg となる． これは f が2次以上の既約多項式であることに矛盾する． 故に k^alg/k は代数閉包である．

次に一意性を示す．Ω/k も代数閉包であるとする．

A := { (K, φ) | k⊂K⊂k^alg は中間体, φ: K→Ω は中への同型 }

としてAに順序関係≦を

(K, φ)≦(L, ψ)⇔ K⊂L, ψ|_K=φ

で定める．Zornの補題によりAは極大元(K, φ)を持つ． 極大性から K=k^alg である． またφ(k^alg)は明らかに代数閉体だから， φ(k^alg)⊂Ωよりφ(k^alg)=Ωが分かる． 故にφ: k^alg→Ω は同型である．

この命題はZFでは証明できないことが知られている． 但し，体kの濃度を可算に制限すれば，代数閉包の「存在」はZFで証明できる．

命題濃度が可算な体 k に対し代数閉包 k^alg/k が存在する．

証明全単射φ: N→ kを取る．α_n:=φ(n)と書く．

A_n := {α_inxⁿ +…+α_i1x+α_i0 ∈k[x] | 0≦i_j≦n }
B_n := A_n＼(A₀∪…∪A_n-1 )

と置くと k[x]=∪_n∈N B_n であり， 各 B_n は有限集合で，辞書式に順序を入れることができる． よって k[x] は可算集合である． 従って A := { f∈k[x] | fは既約多項式，最高次係数は1 } も可算だから 全単射ψ: N→A が得られる． f_n := ψ(n) と置く． K₀ := kとして K_n+1/K_n を f_n∈k[x] の最小分解体とする． k^alg := ∪_n∈N K_nとすれば k^alg/k は代数閉包である．

多項式から最小分解体を得る定まった方法があるため，{ K_n }_nの定義には選択公理は必要ないことに注意する．