命題選択公理を仮定する．任意の体kに対し代数閉包k^alg/kが一意に存在する．

証明まず存在を示す． A := { f∈k[x] | fは既約多項式，最高次係数は1 } と置く． 各 f∈A に対し n_f := deg(f) 個の不定元 x₁^(f), …, x_nf^(f) を用意し， X := { x_i^(f) | f∈A, 1≦i≦n_f } とする． g_f(x) := (x-x₁^(f))…(x-x_nf^(f))-f(x)∈k[X][x]を展開して

g_f(x) = a_nf-1^(f)x^n_f-1+…+a₁^(f)x+a₀^(f)　(a_i^(f)∈k[x₁^(f), …, x_nf^(f)])

と表す．{ a_i^(f) | f∈A, 0≦i≦n_f-1 } で生成されるイデアルを I とする． I⊂k[X]は真のイデアルである．

故に選択公理よりI⊂m ⊊ k[X]なる極大イデアル m が存在する． k^alg := k[X]/mと置く． k^alg は自然に k の拡大体とみなせる． 明らかに k^alg/k は代数拡大である．

k^alg が代数閉体でないと仮定する． 2次以上の既約多項式 f∈k^alg[x] が存在する． L := k^alg[x]/(f) と置けば L/k^alg は有限次拡大で f の根 α∈L を含む．勿論αは k^alg上代数的で， 故に k上代数的でもある．従って g(α)=0 となる多項式 g∈k[x] が存在する． このとき g は k^alg[x] で完全に分解するから α∈k^alg となる． これは f が2次以上の既約多項式であることに矛盾する． 故に k^alg/k は代数閉包である．

次に一意性を示す．Ω/k も代数閉包であるとする．

A := { (K, φ) | k⊂K⊂k^alg は中間体, φ: K→Ω は中への同型 }

としてAに順序関係≦を

(K, φ)≦(L, ψ)⇔ K⊂L, ψ|_K=φ

で定める．Zornの補題によりAは極大元(K, φ)を持つ． 極大性から K=k^alg である． またφ(k^alg)は明らかに代数閉体だから， φ(k^alg)⊂Ωよりφ(k^alg)=Ωが分かる． 故にφ: k^alg→Ω は同型である．

この命題はZFでは証明できないことが知られている． 但し，体kの濃度を可算に制限すれば，代数閉包の「存在」はZFで証明できる．

命題濃度が可算な体 k に対し代数閉包 k^alg/k が存在する．

証明全単射φ: N→ kを取る．α_n:=φ(n)と書く．

A_n := {α_inxⁿ +…+α_i1x+α_i0 ∈k[x] | 0≦i_j≦n }
B_n := A_n＼(A₀∪…∪A_n-1 )

と置くと k[x]=∪_n∈N B_n であり， 各 B_n は有限集合で，辞書式に順序を入れることができる． よって k[x] は可算集合である． 従って A := { f∈k[x] | fは既約多項式，最高次係数は1 } も可算だから 全単射ψ: N→A が得られる． f_n := ψ(n) と置く． K₀ := kとして K_n+1/K_n を f_n∈k[x] の最小分解体とする． k^alg := ∪_n∈N K_nとすれば k^alg/k は代数閉包である．

多項式から最小分解体を得る定まった方法があるため，{ K_n }_nの定義には選択公理は必要ないことに注意する．

一方，代数閉包の一意性は濃度が可算であってもZFでは証明できないことが( AC(2) (制限された選択公理参照) がZFで証明できないことを認めれば)次の命題から分かる．

命題濃度が可算な体 k に対し代数閉包 k^alg/k が一意に存在する
⇒二元集合の族 { X_n }_n∈N は選択関数を持つ

証明まず準備として，p_nをn+1番目の素数とする(p₀=2, p₁=3, …)．可算個の不定元を持つ多項式環 R := Q[x₀, x₁, …] を考える．I⊂R を { x_n²-p_n | n∈N } で生成されるイデアルとすれば，I⊂R は極大イデアルである． よって K := R/I はQの代数拡大体となる． K の代数閉包 K^alg は勿論Qの代数閉包でもあるから仮定よりK^alg ≅ Q^alg ．

さて { X_n }_n∈N を二元集合の族とする．各 X_n は互いに素としてよい．X := ∪_n∈N X_n と置いて多項式環Q[X]を考える． f_n, g_n∈Q[X]を

f_n := Σ_x∈Xnx,　g_n := Π_x∈Xnx + p_n

で定める．J⊂Q[X] を { f_n | n∈N }∪{ g_n | n∈N } で生成されるイデアルすればJ⊂Q[x] は極大イデアルである．よって L := Q[X]/J はQの代数拡大体となり，先ほどと同様に L^alg ≅ Q^alg である．故に L^alg ≅ K^alg だから，同型写像φ: L^alg →K^alg が存在する．任意のx∈ Xを取る．ある n∈X_n が存在して x∈X_n である． |X_n|=2 だから X_n={x, y} と書くと

(x+J)² = x²+J = -xy+J = p_n+J

だからφ((x+J)²) = φ(p_n+J) = p_n+I = x_n²+I より φ(x+J) = ±x_n+I でなければならない． このとき勿論φ(y+J)=-(±x_n)+Iである． 従って各n∈Nに対し，あるx∈X_n が一意に存在してφ(x+J) = x_n+I となる．そこで

f(n) := (φ(x+J)=x_n+I となる x∈X_n )

とすれば f: N→X が選択関数である．