選択公理

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選択公理: 同値な命題とその証明
 選択公理と同値な命題一覧

選択公理と同値な命題とその証明

集合

選択公理について　 PDF版
選択公理の定義、他
集合に関する命題　 PDF版
選択公理 ⇔ 全射の右逆写像の存在、他
整列可能定理とZornの補題　 PDF版　動画版(AC⇒Zornのみ)
選択公理 ⇔ 整列可能定理 ⇔ Zornの補題
整列可能定理について　 PDF版
整列可能定理 ⇔ 全順序は整列可能 ⇔ 順序数の冪集合は整列可能、他
Zornの補題・極大原理　 PDF版　動画版(Tukeyの補題)
Zornの補題 ⇔ Tukeyの補題、他
Constructive Order Theory　PDF版
選択公理 ⇔ 上限はconstructive supremum、他
the Axiom of Multiple Choice　PDF版
選択公理 ⇔ the Axiom of Multiple Choice、他
従属選択公理について　 PDF版
選択公理 ⇔ ∀αDC(α)
∪∩の分配法則　 PDF版
選択公理 ⇔ 任意個の集合についての∪∩の分配法則
順序集合の不動点定理　 PDF版
選択公理 ⇔ 帰納的順序集合 X と写像 f: X→X が∀x∈X(x≦f(x)) を満たすならば f は不動点を持つ、他

濃度

Bernsteinの定理　 PDF版
双対Bernsteinの定理に条件を加えると選択公理と同値になる、という話
濃度の性質　 PDF版
選択公理 ⇔ |X|^2=|X|、他
濃度の比較可能性　 PDF版
選択公理 ⇔ 濃度の比較可能性、他
königの定理　 PDF版　動画版
選択公理 ⇔ königの定理、他
後続基数の定義　 PDF版
選択公理 ⇔ 2-successorの存在
有限集合・無限集合の定義　 PDF版　動画版
選択公理 ⇔ 2|X|=|X|ならば|X|^2=|X|、他

代数学

線型空間の基底の存在　 PDF版　動画版
選択公理 ⇔ 任意の線型空間に基底が存在する，他
線型空間(その他)　PDF版
選択公理 ⇔ Vector Space Multiple Choice，他
集合に群構造が入る　 PDF版
選択公理 ⇔ 任意の非空集合Xに群構造を入れることができる
剰余群の完全代表系の存在　 PDF版
選択公理 ⇔ アーベル群の剰余群の完全代表系の存在
任意の群のp-Sylow部分群の存在　 PDF版　動画版
選択公理 ⇔ 任意の群にp-Sylow部分群が存在する
Nielsen-Schreierの定理　 PDF版
Nielsen-Schreierの定理に条件を加えると選択公理と同値になる、という話
入射的・射影的　 PDF版
選択公理 ⇔ 可除アーベル群は入射的 ⇔ 自由アーベル群は射影的、他
群や環の直積　 PDF版
選択公理 ⇔ 非自明群の族の直積はどの成分も単位元でない元を含む、他
環の極大イデアルの存在　 PDF版
選択公理 ⇔ 環は極大イデアルを持つ ⇔ 一意分解整域は極大イデアルを持つ
Krullの定理⇒選択公理の別証明　 PDF版
環の極大イデアルと有限性を持つ集合の極大元の間に対応をつけることにより証明
環のSubdirect Decomposition　PDF版
選択公理 ⇔ 任意の環は部分直既約な環の部分直積である、他
束　 PDF版
選択公理 ⇔ 完備束は極大フィルターを持つ、他
グラフの彩色　 PDF版
選択公理 ⇔ 任意のグラフの彩色数が存在する ⇔ 任意のグラフは既約な彩色を持つ、他

位相

Tychonoffの定理　 PDF版
選択公理 ⇔ Tychonoffの定理、他
Tychonoffの定理の別証明　 PDF版
Tychonoffの定理の別証明から分かることについて
Alexandroff-Urysohnコンパクト　 PDF版
選択公理 ⇔ コンパクトならばAlexandroff-Urysohn-コンパクト、他
閉集合と直積　 PDF版
選択公理 ⇔ 「直積の閉包」=「閉包の直積」、他
T_0部分空間　 PDF版
選択公理 ⇔ 任意の位相空間は極大なT_0部分空間を持つ、他
Loeb空間　 PDF版
選択公理 ⇔ コンパクトHausdorff空間の任意の点は，整列可能な基本近傍系を持つ、他
位相の拡大　 PDF版
選択公理 ⇔ Xの任意のコンパクトR₁位相Rに対して， XのコンパクトTychonoff位相T⊃Rが存在する、他
位相空間の直積・直和　 PDF版
選択公理 ⇔ X_λ ≅ Y_λ(同相) ならば ΠX_λ ≅ ΠY_λ(同相)、他
位相空間(その他)　PDF版
選択公理 ⇔ スーパーコンパクトの直積はスーパーコンパクト ⇔ Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理
位相空間のコホモロジー　 PDF版
選択公理 ⇔ 任意の集合Xと任意の群Gに対して Giraudのコホモロジー H^1(X, G)=1、他
第一可算公理　PDF版　動画版
第一可算公理と選択公理の関係について

解析学

関数解析学の定理　 PDF版
選択公理 ⇔ Hahn-Banachの定理+α ⇔ Banach-Alaoglu + Krein-Milman、他

数学基礎論

Löwenheim-Skolemの定理　 PDF版
選択公理 ⇔ Löwenheim-Skolemの定理
Łośの定理とBPI　PDF版　動画版
選択公理 ⇔ Łośの定理+BPI
Lindenbaumの定理　 PDF版
選択公理 ⇔ x∉Cn(X)ならばx-飽和な理論Y⊃Xが存在する．

圏論

圏論　 PDF版
選択公理 ⇔ 随伴関手定理 ⇔ 圏の骨格の存在、他
圏と圏の間のbridge　動画版

選択公理に関する話題

こちらは選択公理と同値じゃない命題になります。

制限された選択公理　 PDF版　動画版(AC(2)⇔AC(4))
n元集合からなる族についての選択公理など
Lebesgue非可測集合の存在　 PDF版　動画版
非可測集合の存在と選択公理は同値ではない　動画版
選択公理なしなら「非可測集合は存在しない」というわけではない　動画版
代数閉包の存在と一意性　 PDF版
Boolean Prime Ideal Theorem
BPIについて(紹介のみ)
実数関数の連続性　 PDF版　動画版
Noether環の条件について　 PDF版
昇鎖条件・極大条件の同値性について
\aleph_1≦*2^{\aleph_0}　PDF版
実数体から濃度\aleph_1の集合への全射は選択公理無しで構成できる．
Banach-Tarskiの定理　 PDF版
動画版
　Banach-Tarskiの定理って結局どういうこと?
　「移動」も考慮したBanach-Tarski
　Banach-Tarskiの各パーツを連結にする
一般連続体仮説　 PDF版
一般連続体仮説から選択公理が従う．
Urysohnの補題　 PDF版
Urysohnの補題について
Urysohnの距離化可能定理　動画版
Urysohnの距離化可能定理は選択公理なしで証明できる。
Hahn-Banachの定理　 PDF版　動画版
Hahn-Banachの定理が無いとX^*=0となりえる
本当は怖い濃度の話　 PDF版
濃度の定義や計算について
Partition Principle　PDF版
Partition Principleについて
対角線論法と選択公理は関係ない　動画版
有限次元⇔閉単位球がコンパクト　動画版
この同値は選択公理なしで証明できる
ℝ/ℚの濃度　動画版
|ℝ/ℚ|≦|ℝ|は選択公理なしで証明できない
Fermatの最終定理　動画版
Fermatの最終定理は、選択公理ありで証明できれば、選択公理なしで証明できる
ω₁の距離化可能性　動画版
ω₁が距離化不可能であることは、選択公理なしで証明できる
two-point set　動画版