【選択公理】任意の集合に選択関数が存在する．
[⇔] 非空集合の任意個の直積は空でない．
[⇔] 全射f:A→Bに対し，fg=id_Bとなるような写像g:B→Aが存在する．
[⇔] 空でない集合Aと写像 f:A→B に対して写像 g:B→A が存在して fgf=f となる．
[⇔] 任意の二項関係Rに対し，ある関数fが存在してdom(R)=dom(f)かつf⊂R．[ 即ち，∀x∈dom(f)に対しxRf(x) ]
[⇔]【Zornの補題】順序集合Xが「Xの部分全順序集合には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する． http://alg-d.com/other/ac_wo_z.html
[⇔] 順序集合Xが「Xの部分全順序集合には上限が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する．
[⇔] 順序集合Xが「Xの部分整列順序集合には上界が存在する」を満たすならば，Xの極大元が存在する
[⇔] 集合Xと推移的関係R⊂X×Xが「Xの部分集合でRによって全順序付けされるものには上界が存在する」を満たすならば，Xの(Rに関する)極大元が存在する．
[⇔] 任意の集合Xに対し「任意の元x, y∈Yに対しx∈yまたはx=yまたはy∈x」となるような極大部分集合Y⊂Xをが存在する．
[⇔]【Tukeyの補題】有限性をもつ集合族は(⊂について)の極大元をもつ．[ 集合族Xが有限性を持つとは「x∈X ⇔ ∀a⊂x(aが有限集合⇒a∈X)」 ]
[⇔]【Hausdorff maximal principle】順序集合Xの任意の部分全順序集合は，Xの極大部分全順序集合に含まれる．
[⇔] 任意の木は極大全順序集合を持つ．[ 木とは順序集合(T, ≦)で「∀t∈Tに対し{x∈T|x≦t}は≦によって全順序集合になる」を満たすもの ]
[⇔]【Kurepa's Maximal Antichain Condition】任意の順序集合は極大反鎖を持つ．[ 順序集合(X,≦)の反鎖とは，A⊂Xで「∀x∀y∈Aに対しx≦yでもy≦xでもない」を満たすもの ]
[⇔] 任意の集合X上の二項関係Rに対し，Y×Y⊂Rとなるような極大部分集合Y⊂Xが存在する．
[⇔] 任意の集合X上の二項関係Rに対し，Y×Y⊂R∪R^{-1}∪Iとなるような極大部分集合Y⊂Xが存在する．[ R^{-1}:={(y, x)|(x, y)∈R}，I:={(x, x)|x∈X} ]
[⇔]【整列可能定理】任意の集合は整列可能．[ Xが整列可能とは，ある順序関係≦で「Xの任意の部分集合が(≦についての)最小元を持つ」を満たすものが存在すること ] http://alg-d.com/other/ac_wo_z.html
[⇔] 任意の全順序集合は整列可能． http://alg-d.com/other/ac_wot.html
[⇔] 任意の順序数αに対し，冪集合 Power(α) は整列可能． http://alg-d.com/other/ac_wot.html
[⇔] 任意の集合Xに対し P(X, m)．[ mは正整数，P(X, m):=「ある順序数αとその上で定義された関数fが存在して ∀β<α(|f(β)|≦m) と X=∪_{β<α}f(β) を満たす」 ] http://alg-d.com/other/ac_wot.html
[⇔] ある正整数mが存在して，任意の集合Xに対し P(X, m)． http://alg-d.com/other/ac_wot.html
[⇔] 任意の集合Xに対しある正整数mが存在して P(X, m)． http://alg-d.com/other/ac_wot.html
[⇔] 任意の集合A, Bに対し，単射A→B または 単射B→A が存在する．
[⇔] アレフゼロ以上の任意の濃度λ, μに対しλ・μ=λ+μ．
[⇔] アレフゼロ以上の任意の濃度λに対しλ=λ^2．
[⇔] アレフゼロ以上の任意の濃度λ, μに対しλ+μ=λまたはλ+μ=μ．
[⇔] アレフゼロ以上の任意の濃度λ, μに対しλ・μ=λまたはλ・μ=μ．
[⇔] 任意の無限集合Xに対し |X|=|Xの有限部分集合全体|
[⇔] |A|<|A∪B|かつ|B|<|A∪B| ならば A∪Bは有限集合
[⇔]【the axiom of multiple choice】
[⇔]【Tychonoffの定理】コンパクト集合の任意個の直積はコンパクト．
[⇔] Sums of normal spaces are normal
[⇔] 任意の非空集合に群構造を定義する事ができる． http://alg-d.com/other/ac_gp.html
[⇔] 任意の線型空間に基底が存在する． http://alg-d.com/other/ac_base.html
[⇔] 自明でない(単位的)環は極大イデアルを持つ．
[⇔] 任意の一意分解整域は極大イデアルを持つ．
[⇔] 任意の束は極大フィルターを持つ．
[⇔] 任意の完備束は極大フィルターを持つ．
[⇔] 任意の分配束は極大フィルターを持つ．
[⇔]【Loewenheim-Skolemの定理】
[⇒] 無限集合は自身と同じ濃度を持つ真部分集合を含む．
[⇒] 無限集合は可算無限部分集合を含む．
[⇒]【可算和定理】可算集合の可算個の和集合は可算．
[⇒]【順序付け原理】任意の集合は全順序付けられる．[ Gonzalez, 1995 ]
[⇒]【稠密順序付け原理】任意の無限集合は稠密に全順序付けられる．[ Pincus, 1997 ]
[⇒]【Kinna-Wagner原理】任意の集合は「ある順序数の冪集合」の中へ1対1に埋め込む事ができる．
[⇒]【Banach-Tarskiのパラドクス】(中身の詰まった)球体を有限個に分割し，上手く組み立てると，初めと同じ大きさの球体が2つになる．
[⇒] 任意の体に対し，その代数閉包が一意に存在する．
[⇒] 濃度が可算な体の代数閉包は一意的．[ 存在は選択公理無しで証明できる ]
[⇒]【Artin-Schreierの定理】体 K が「任意の正整数nに対し「(x_1)^2+…+(x_n)^2≠-1 (∀x_i∈K)」」を満たすならば，Kの全順序 < で「x<y ⇒ x+z<y+z」かつ「x<y, 0<z ⇒ xz<yz」を満たすものが存在する．
[⇒] コンパクトHausdorff空間の任意個の直積はコンパクト．
[⇒] 距離空間Tの部分集合Aについて「x∈(Aの閉包) ⇔ Aの点列{x_n}でlim x_n = x となるものが存在する」
[⇒]【Urysohnの補題】正規空間Tの，共通部分を持たない閉集合F, Gに対して，「F上で 0, Gで 1」となるような実連続関数f: T→R が存在する．
[⇒] 可分な距離空間の部分空間は可分．
[⇒] 実関数f(x)がx=aで連続 ⇔ lim a_n = aとなる任意の数列{a_n}に対しlim f(a_n) = f(a)．
[⇒] 実数空間で，可算個の第一類集合の和集合は第一類である．
[⇒]【Baireのカテゴリー定理】完備距離空間の稠密開集合の可算列の共通部分は稠密．[ この形の範疇定理は従属選択公理と同値 ]
[⇒] Lebesgue測度の可算加法性
[⇒] Lebesgue非可測集合が存在する．
[⇒]【Hahn-Banachの定理】Vを実線型空間，W⊂Vを部分空間，g:V→Rを亜線型汎関数，f:W→Rを線型汎関数で，W上でf≦gとする．このときある線型汎関数F:V→Rが存在してW上でF=f，V上でF≦gを満たす．
end